Question

设方程x²-mx+n=0的两个实根分别为x₁，x₂，而以x₁²，x₂²为根的二次方程仍是x²-mx+n=0，则这样的实数对（m，n）个数是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、0

Answer 1

分析：根据韦达定理求得x₁•x₂=n，x₁+x₂=m，所以x₁²•x₂²=n=n²①，x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=m=m²-2n②，由①②联立方程组，即可求得实数对（m，n）个数．

解答：解：∵方程x²-mx+n=0的两个实根分别为x₁，x₂，
∴由韦达定理，得
x₁•x₂=n，x₁+x₂=m；
又∵x₁²，x₂²为根的二次方程仍是x²-mx+n=0，
∴x₁²•x₂²=n=n²，即n²-n=0，①
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=m=m²-2n，即m²-2n-m=0，②
由①②，解得

m=2 n=1

，

m=-1 n=1

，

m=1 n=0

或

m=0 n=0

，
当

m=-1 n=1

时，原方程化为x²+x+1=0，而方程无实数根，所以舍掉此解．
∴这样的实数对（m，n）个数是3个．
故选B．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．