Question

14．如图1，已知抛物线y=ax²+bx+2的图象经过点A-1，0（，B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点Q（m，m-1）是抛物线上位于第一象限内点点，P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），经过点P分别作PD∥BQ交AQ于点D，PE∥AQ交BQ于点E．
①求证：四边形PDQE是矩形；
②连接DE，试直接写出线段DE的长度范围是2≤DE＜$2\sqrt{5}$（直接填空）；
③如图2，在抛物线上是否存在一点F，使得P、F、A、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点F和点P坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A、B的坐标代入抛物线y=ax²+bx+2即可求得解析式；（2）将点Q（m，m-1）的坐标代入抛物线解析式求得点Q的坐标，再根据过股定理的逆定理可得∴∠Q=90°，从而可证明四边形PDQE是矩形；再根据点P的不同位置可得出线段DE的长度范围；分类讨论：当以AP为边时，AP为对角线时得出满足条件的点F和点P坐标．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
所以函数解析式为y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$．
（2）①将点Q坐标代入二次函数关系式得$-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2=m-1$，解得m₁=-2，m₂=3其中m₁=-2不合题意舍去．
∴点Q的坐标为（3，2）
则BQ²=5，AQ²=20，AB²=25，
∴BQ²+AQ²=AB²．
∴△ABQ为直角三角形．
∴∠Q=90°
∵PD∥BQ，PC∥AQ，
∴∠PDQ=∠PEQ=90°（或四边形PDQE是平行四边形）．
∴四边形PDQE是矩形．
②∵四边形PDQE是矩形
∴DE=PQ
∵点Q的坐标为（3，2）
∴当PQ⊥x轴时，PQ最小，此时PQ=DE=2
当点P接近点A时，PQ最大，此时PQ=DE接近于AQ=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}$
∴2≤DE＜$2\sqrt{5}$．
③当以AP为边时，则它的对边只可能是CF，如图，
∵CF=3，
∴点F的坐标为（3，2）点P的坐标为（2，0）；

当以AP为对角线时，如图，可得F的纵坐标与点C的纵坐标互为相反数，即为-2，
代入二次函数解析式得-$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x$+2=-2，解得x=$\frac{3±\sqrt{41}}{2}$
∵点F在第三象限，
∴x=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，即点F的坐标为（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）
则此时点F的坐标为（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，0），
∴点F的坐标为（3，2）点P的坐标为（2，0），或点F的坐标为（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）点P的坐标为（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，0）．

点评 此题考查传统的待定系数求函数解析式、矩形的判定方法和平行四边形的判定与性质，在解决本题时要根据不同情况进行分类讨论得出符号条件的不同情况．