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11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边 PE,PF分别交AB,AC于点E,F,当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合).现给出以下四个结论:
(1)AE=CF;
(2)△EPF是等腰直角三角形;
(3)S四边形AEPF=$\frac{1}{2}$S△ABC
(4)EF=AP.
上述结论中始终正确的结论有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

分析 根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°,AP=PC=PB,∠APC=∠EPF=90°,求出∠APE=∠CPF,证△APE≌△CPF,推出AE=CF,EP=PF,推出SAPE=S△CPF,求出S四边形AEPF=S△APC=$\frac{1}{2}$S△ABC,求出BE+CF=AE+AF>EF,即可得出答案.

解答 解:∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,P是BC中点,
∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°,AP=PC=PB,∠APC=∠EPF=90°,
∴∠EPF-∠APF=∠APC-∠APF,
∴∠APE=∠CPF,
在△APE和△CPF中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C=45°}\\{AP=AP}\\{∠APE=∠CPF}\end{array}\right.$,
∴△APE≌△CPF(ASA),
∴AE=CF,EP=PF,
∴△EPF是等腰直角三角形,∴①正确;②正确;
∵△APE≌△CPF
∴SAPE=S△CPF
∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△APC=$\frac{1}{2}$S△ABC,∴③正确;
∵△ABC是等腰直角三角形,P是BC的中点,
∴AP=$\frac{1}{2}$BC,
∵EF不是△ABC的中位线,
∴EF≠AP,故④错误;
即正确的有3个,
故选C.

点评 本题考查了等腰三角形性质,直角三角形斜边上中线性质,三角形三边关系定理,全等三角形的性质和判定的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理的能力.

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