Question

如图，矩形ABCD中，EF为过BD的中点O的一条直线，与边AD、BC分别相交于点E、F．
（1）当EF⊥BD时，四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由；
（2）在第（1）问的条件下，若AB=6cm，BC=8cm，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形，根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形证明即可；
（2）根据矩形的性质和勾股定理计算即可．

解答：解：（1）当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形，
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBF，
∵EF为过BD的中点O的一条直线，
∴EO=FO，
∵∠EOD=∠FOB，
∴△EOD≌△FOB，
∴EO=FO，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）∵四边形BEDF是菱形，
∴BE=BF=DE=DF，
设DE=x，则AE=AD-DE=8-x，
在Rt△ABE中，
6²+（8-x）²=x²，
解得：x=

25

4

，
∴DE=

25

4

cm．

点评：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定和性质、勾股定理的运用，题目的综合性较强．