Question

18．如图，△ABC中，点D、E在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC=120°，求证：DE²=BD•CE．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得到AD=AE=DE，∠ADE=∠AED=60°，由邻补角的定义得到∠ADB=∠AEC=120°，求得∠B=∠CAE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{CE}=\frac{BD}{AE}$，等量代换即可得到结论．

解答 证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AD=AE=DE，∠ADE=∠AED=60°，
∴∠ADB=∠AEC=120°，
∵∠BAC=120°，
∴∠B+∠BAD=∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠B=∠CAE，
∴△ABD∽△CAE，
∴$\frac{AD}{CE}=\frac{BD}{AE}$，
∴AD•AE=CE•BD，
∴DE²=BD•CE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．