Question

【题目】如图1，直线y＝﹣x+4与坐标轴分别相交于A、B两点，在第一象限内，以线段AB为边向外作正方形ABCD，过A、C点作直线AC．

（1）填空：点A的坐标是　 　，正方形ABCD的边长等于　 　；

（2）求直线AC的函数解析式；

（3）如图2，有一动点M从B出发，以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，设运动的时间为t（秒），连接AM，当t为何值时，则AM平分∠BAC？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（3，0），5；（2）y＝7x﹣21；（3）t为5﹣5时，AM平分∠BAC．

【解析】

（1）根据坐标轴上点的特点求出点A，B坐标，即可得出结论；（2）先判断出△AOB≌△BNC，得出BN＝OA＝3，CN＝OB＝4，即可求出点C纵坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（3）先判断出MF＝CF，用CM＝BM建立方程即可得出结论；

解：

（1）∵直线y＝与坐标轴分别相交于A、B两点，

令x＝0，则y＝4，

∴B（0，4），

令y＝0，则0＝，

∴x＝3，

∴A（3，0），

∴AB＝＝5，

故答案为：（3，0），5；

（2）如图1，过点C作CN⊥OB于N，

∴∠CBN+∠BCN＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠OBA+∠CBN＝90°，

∴∠OBA＝∠BCN，

在△AOB和△BNC中，

，

∴△AOB≌△BNC（AAS），

∴CN＝OB＝4，BN＝OA＝3，

∴ON＝OB+BN＝7，

∴C（4，7），

设直线AC的解析式为y＝kx+b，

∵A（3，0），

∴，

∴；

∴直线AC的解析式为y＝7x﹣21；

（3）如图2，过M作MF⊥AC

当AM为∠BAC的角平分线时，

∵MF⊥AC，MB⊥AB

∴BM＝FM

∵∠MCF＝45°，

∴MF＝CF

设BM＝x，则CM＝5﹣x，

则CM＝MF＝BM，

∴5﹣x＝x，

∴（+1）x＝5，

∴x＝，

∴t为时，AM平分∠BAC．