Question

如图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图）．

（1）求抛物线的解析式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．

Answer 1

分析：（1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程；
（2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是他们的距离．

解答：解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1）（2分）
设抛物线的解析式是y=a（x-5）²+5（3分）
把（0，1）代入y=a（x-5）²+5
得a=-

4

25

（5分）
∴y=-

4

25

（x-5）²+5（0≤x≤10）；（6分）

（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4（7分）
∴4=-

4

25

（x-5）²+5
∴

4

25

（x-5）²=1
∴x₁=

15

2

，x₂=

5

2

（9分）
∴两景观灯间的距离为

15

2

-

5

2

=5米．（10分）

点评：此题考查对抛物线等二次函数的应用，从图中可以看出的坐标是解题的关键．