【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+3交y轴于点A,交x轴于点B(-3,0)和点C(1,0),顶点为点M.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,点E为x轴上一动点,若△AME的周长最小,请求出点E的坐标;
(3)点F为直线AB上一个动点,点P为抛物线上一个动点,若△BFP为等腰直角三角形,请直接写出点P的坐标.
【答案】(1) ;(2)E(-,0);(3)点P的坐标为(2,-5)或(1,0).
【解析】
(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x-1),然后将点A的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式;
(2)作A关于x轴的对称点A′(0,-3),连接MA′交x轴于E,此时△AME的周长最小,求出直线MA'解析式即可求得E的坐标;
(3)如图2,先求直线AB的解析式为:y=x+3,根据解析式表示点F的坐标为(m,m+3),
分三种情况进行讨论:
①当∠PBF=90°时,由F1P⊥x轴,得P(m,-m-3),把点P的坐标代入抛物线的解析式可得结论;
②当∠BF3P=90°时,如图3,点P与C重合,
③当∠BPF4=90°时,如图3,点P与C重合,
从而得结论.
(1)当x=0时,y=3,即A(0,3),
设抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x-1),
把A(0,3)代入得:3=-3a,
a=-1,
∴y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3,
即抛物线的解析式为:y=-x2-2x+3;
(2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴M(-1,4),
如图1,作点A(0,3)关于x轴的对称点A'(0,-3),连接A'M交x轴于点E,则点E就是使得△AME的周长最小的点,
设直线A′M的解析式为:y=kx+b,
把A'(0,-3)和M(-1,4)代入得:
,
解得:
∴直线A'M的解析式为:y=-7x-3,
当y=0时,-7x-3=0,
x=-,
∴点E(-,0),
(3)如图2,易得直线AB的解析式为:y=x+3,
设点F的坐标为(m,m+3),
①当∠PBF=90°时,过点B作BP⊥AB,交抛物线于点P,此时以BP为直角边的等腰直角三角形有两个,即△BPF1和△BPF2,
∵OA=OB=3,
∴△AOB和△A'OB是等腰直角三角形,
∴∠F1BC=∠BF1P=45°,
∴F1P⊥x轴,
∴P(m,-m-3),
把点P的坐标代入抛物线的解析式y=-x2-2x+3中得:
-m-3=-m2-2m+3,
解得:m1=2,m2=-3(舍),
∴P(2,-5);
②当∠BF3P=90°时,如图3,
∵∠F3BP=45°,且∠F3BO=45°,
∴点P与C重合,
故P(1,0),
③当∠BPF4=90°时,如图3,
∵∠F4BP=45°,且∠F4BO=45°,
∴点P与C重合,
故P(1,0),
综上所述,点P的坐标为(2,-5)或(1,0).
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【题目】(问题提出)
如图①,在中,若,,求边上的中线的取值范围.
(1)(问题解决)
解决此问题可以用如下方法:延长到点使,再连接(或将绕着点逆时针旋转得到),把、、集中在中,利用三角形三边的关系即可判断,由此得出中线的取值范围.
(2)(应用)
如图②,在中,为的中点,已知,,,求的长.
(3)(拓展)
如图③,在中,,点是边的中点,点在边上,过点作交边于点,连接。已知,,求的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形的顶点在轴上,顶点在轴上,是的中点,过点的反比例函数图象交于点,连接,若.
求过点的反比例函数的解析式及所在直线的函数解析式.
设直线与轴和轴的交点分别为,求的面积.
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【题目】在“书香校园”活动中,某校为了解学生家庭藏书情况,随机抽取本校部分学生进行调查,并绘制成部分统计图表如下:
类别 | 家庭藏书m本 | 学生人数 |
A | 0≤m≤25 | 20 |
B | 26≤m≤100 | a |
C | 101≤m≤200 | 50 |
D | m≥201 | 66 |
根据以上信息,解答下列问题:
(1)该调查的样本容量为_____,a=_____;
(2)在扇形统计图中,“A”对应扇形的圆心角为_____°;
(3)若该校有2000名学生,请估计全校学生中家庭藏书200本以上的人数.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长是2,点E是CD边的中点,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点,把∠C沿直线EF折叠,使点C落在点C′处.当△ADC′为等腰三角形时,FC的长为_____.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,BC交⊙O于点D,E是的中点,AE与BC交于点F,∠C=2∠EAB.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知CD=4,CA=6,
①求CB的长;
②求DF的长.
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【题目】如图,B(2m,0)、C(3m,0)是平面直角坐标系中两点,其中m为常数,且m>0,E(0,n)为y轴上一动点,以BC为边在x轴上方作矩形ABCD,使AB=2BC,画射线OA,把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′,连接ED′,抛物线y=ax2+bx+n(a≠0)过E、A′两点.
(1)填空:∠AOB= °,用m表示点A′的坐标:A′ ;
(2)当抛物线的顶点为A′,抛物线与线段AB交于点P,且时,△D′OE与△ABC是否相似?说明理由;
(3)若E与原点O重合,抛物线与射线OA的另一个交点为M,过M作MN垂直y轴,垂足为N:
①求a、b、m满足的关系式;
②当m为定值,抛物线与四边形ABCD有公共点,线段MN的最大值为5,请你探究a的取值范围.
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【题目】在日常生活中我们经常会使用到订书机,如图MN是装订机的底座,AB是装订机的托板AB始终与底座平行,连接杆DE的D点固定,点E从A向B处滑动,压柄BC绕着转轴B旋转.已知连接杆BC的长度为20cm,BD=cm,压柄与托板的长度相等.
(1)当托板与压柄的夹角∠ABC=30°时,如图①点E从A点滑动了2cm,求连接杆DE的长度.
(2)当压柄BC从(1)中的位置旋转到与底座垂直,如图②.求这个过程中,点E滑动的距离.(结果保留根号)
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【题目】直线与反比例函数(>0)的图象分别交于点 A(,4)和点B(8,),与坐标轴分别交于点C和点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)观察图象,当时,直接写出的解集;
(3)若点P是轴上一动点,当△COD与△ADP相似时,求点P的坐标.
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