Question

14．已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）交x轴于A（1，0）和B （-3，0），交y轴于C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是抛物线的顶点，P为抛物线上的一点（不与D重合），当S_△PAB=S_△ABD时，求P的坐标；
（3）若F是x轴上一动点，Q是抛物线上一动点，是否存在F、Q，使以B、C、F、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A和B的坐标代入抛物线解析式，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解集得到a与b的值，进而确定出抛物线的解析式；
（2）由S_△PAB=S_△ABD，根据三角形面积公式可得点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，而D的坐标为（-1，4），所以点P的纵坐标一定为-4．将y=-4代入（1）中所求解析式，得到x²-2x-3=4，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
（3）根据平行四边形的判定，可得BF与CQ的关系，根据数轴上到一点距离相等的点有两个，可得答案．

解答 解：（1）把点A（1，0）和点B（-3，0）代入抛物线解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0①}\\{9a-3b+3=0②}\end{array}\right.$，
①×3+②得：12a+12=0，解得：a=-1，
把a=-1代入①得：-1+b+3=0，解得：b=-2，
∴方程组的解集为$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
则所求抛物线解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=-x²-2x+3，即y=-（x+1）²+4，
则D（-1，4），
∵S_△PAB=S_△ABD，且点P在抛物线上，
∴点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，
∴点P的纵坐标一定为-4．
令y=-4，则-x²-2x+3=-4，
解得x₁=-1+2$\sqrt{2}$，x₂=-1-2$\sqrt{2}$．
∴点P的坐标为（-1+2$\sqrt{2}$，-4）或（-1-2$\sqrt{2}$，-4）．

（3）存在，理由如下：
如图：由抛物线解析式为y=-x²-2x+3得到：C（0，3）

由BFCQ是平行四边形，得
BF∥CQ，BF=CQ．
C（0，3）得Q的纵坐标时3，即-x²-2x+3=3，
解得x=0或x=-2，即Q（-2，3）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数的解析式，利用了二次函数的性质，平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形．