【题目】如图,在直角三角形中,
,
,
.动点
从点
出发,沿线段
向终点
以
的速度运动,同时动点
从点
出发沿线段
以
的速度向终点
运动,以
,
为邻边作平行四边形
.设平行四边形
与直角三角形
重叠部分图形的面积为
,点
运动的时间为
.
(1)当点落在线段
上时,求
的值;
(2)求与
之间的函数关系式,并写出自变量
的取值范围;
(3)当四边形为矩形时,直接写出
的值.
【答案】(1);(2)
;
;
;(3)
【解析】
(1)当点E落在线段BC上时,PQ∥BC,得出△APQ∽△ABC,得出
,由勾股定理得出AC=
=10cm,代入计算得出t=
;
(2)分情况讨论:①当0<t≤时,作PG⊥AC于G,证明△APG∽△ACB,得出
,求出PG=
t,重叠部分图形的面积S=平行四边形PECQ的面积,即可得出结果;
②当<t≤5时,作PG⊥AC于G,CF⊥PE于F,则CF=PG,同①得CF=PG=
t,PH=10-
t,得出EH=PE-PH=
t-10,得出重叠部分图形的面积S=平行四边形PECQ的面积-△CEH的面积,即可得出结果;
③当5<t≤6时,Q到达A点停止不动,CE=AP=t,作PG⊥AC于G,同①得:PG=t,BH=
t,得出CH=BC-BH=
t,重叠部分图形的面积为S=平行四边形PECQ的面积-△CEH的面积,即可得出结果;
(3)当四边形PECQ为矩形时,∠PQC=90°,证出△APQ∽△ACB,得出,即可得出结果.
解:(1)当点落在线段
上时,
,
,
,
,
,
,
,
,
解得:;
(2)分情况讨论:①当时,作
于
,如图1所示:
图1
则,
,
,
,即
,
解得:,
∴重叠部分图形的面积平行四边形
的面积
,
即;
②当时,如图2所示:
图2
作于
,
于
,
则,
同①得:,
,
,
∴重叠部分图形的面积平行四边形
的面积
的面积
,
即;
③当时,
到达
点停止不动,如图3所示:
图3
,作
于
,
同①得:,
,
,
∴重叠部分图形的面积为平行四边形
的面积
的面积
,
即;
(3)当四边形为矩形时,
,
,
,
,
,即
,
解得:.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2﹣2x+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),点B(9,10),AC∥x轴.
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)求tan∠ABC的值.
(3)若点D为抛物线的顶点,点E是直线AC上一点,当△CDE与△ABC相似时,求点E的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,D是边AC上一点,联结BD,给出下列条件:∠ABD=∠ACB;②AB2=ADAC;③ADBC=ABBD;④ABBC=ACBD.其中单独能够判定△ABD∽△ACB的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,在等腰△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC相交于点D,过点D作DE⊥BC交AB延长线于点E,垂足为点F.
(1)证明:DE是⊙O的切线;
(2)若BE=4,∠E=30°,求由、线段BE和线段DE所围成图形(阴影部分)的面积,
(3)若⊙O的半径r=5,sinA=,求线段EF的长.
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【题目】如图,三张“黑桃”扑克牌,背面完全相同将三张扑克牌背面朝上,洗匀后放在桌面上甲,乙两人进行摸牌游戏,甲先从中随机抽取一张,记下数字再放回洗匀,乙再从中随机抽取一张.
(1)甲抽到“黑桃”,这一事件是 事件(填“不可能“,“随机“,“必然”);
(2)利用树状图或列表的方法,求甲乙两人抽到同一张扑克牌的概率.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,若点P和点关于y轴对称,点
和点
关于直线l对称,则称点
是点P关于y轴,直线l的二次对称点.
如图1,点
.
若点B是点A关于y轴,直线
:
的二次对称点,则点B的坐标为______;
若点
是点A关于y轴,直线
:
的二次对称点,则a的值为______;
若点
是点A关于y轴,直线
的二次对称点,则直线
的表达式为______;
如图2,
的半径为
若
上存在点M,使得点
是点M关于y轴,直线
:
的二次对称点,且点
在射线
上,b的取值范围是______;
是x轴上的动点,
的半径为2,若
上存在点N,使得点
是点N关于y轴,直线
:
的二次对称点,且点
在y轴上,求t的取值范围.
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【题目】如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则
①二次函数的最大值为a+b+c;
②a﹣b+c<0;
③b2﹣4ac<0;
④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部,将BF延长交AD于点G.若,则
=__.
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【题目】有这样一个问题:探究函数的图象与性质.
下面是小东的探究过程,请补充完成:
(1)函数的自变量x的取值范围是 .
(2)在平面直角坐标系xOy中描出了图象上的一些点,请你画出函数的图象;
下表是y与x的几组对应值.
x | … | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 1.4 | 2.4 | 2.5 | 3 | 4 | 5 | … |
y | … | ﹣3.25 | ﹣2.33 | ﹣1.50 | ﹣1 | ﹣1.27 | 3.9 | 3.5 | 3 | m | 4.33 | … |
(3)求m的值;
(4)根据图象写出此函数的一条性质.
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