Question

2．随着成都市近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资种植树木及花卉，根据市场调查与预测，种植树木的利润y₁与投入资金x成正比例函数关系；种植花卉的利润y₂与投入资金x成二次函数关系，如图所示（利润与投入资金的单位：万元）
（1）分别求出利润y₁与y₂关于投入资金x的函数关系式；
（2）如果该专业户投入资金10万元种植树木和花卉，他至少可获得多少利润？请你利用所学的数学知识对该专业户投入资金的分配提出合理化建议，使他能获得最大利润，并求出最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）设y₁=kx（k≠0），根据图形可知点（1，2）在正比例函数图象上，利用待定系数法即可求出y₁关于投入资金x的函数关系式；由抛物线的顶点为原点可设y₂=ax²（a≠0），结合图形中抛物线上的点（1，0.5）利用待定系数法即可求出y₂关于投入资金x的函数关系式；
（2）设这个专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤10），则投入种植树木（10-x）万元，他获得的利润是z万元，根据总利润=种植花卉利润+种植树木利润，即可得出z关于x的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题，此题得解．

解答 解：（1）设y₁=kx（k≠0），
由图可知，函数y₁=kx的图象过点（1，2），
∴2=k×1，k=2，
∴y₁关于投入资金x的函数关系式为y₁=2x．
∵抛物线的顶点为原点，
∴设y₂=ax²（a≠0），
由图可知，函数y₂=ax²的图象过点（1，0.5），
∴0.5=a×1²，a=$\frac{1}{2}$．
∴y₂关于投入资金x的函数关系式为y₂=$\frac{1}{2}$x²．
（2）设这个专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤10），则投入种植树木（10-x）万元，他获得的利润是z万元，
根据题意得：z=2（10-x）+$\frac{1}{2}$x²=$\frac{1}{2}$x²-2x+20=$\frac{1}{2}$（x-2）²+18，
当x=2时，z取最小值18，
∵0≤x≤10，
∴-2≤x-2≤8，
∴（x-2）²≤64．
∴$\frac{1}{2}$（x-2）²≤32，
∴$\frac{1}{2}$（x-2）²+18≤32+18=50，即z≤50，
当z=50时，x=10，
故10万元全部用来投资种植花卉时，可获得最大利润，最大利润为50万元．

点评 本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，根据图形中点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．