Question

【题目】黄金三角形就是一个等腰三角形，且其底与腰的长度比为黄金比值．如图1，在黄金中，，点是上的一动点，过点作交于点．

当点是线段的中点时， ；当点是线段的三等分点时， ；

把绕点逆时针旋转到如图2所示位置，连接，判断的值是否变化，并给出证明；

把绕点在平面内自由旋转，若请直接写出线段的长的取值范围．

Answer 1

【答案】，；不变，证明见解析；

【解析】

（1）根据黄金三角形的定义以及线段的比例关系即可求解；

（2）根据旋转的性质，证明即可求解；

（3）当点E在BC上时，CE最短，此时；当点E在BC的延长线上时，CE最长，．

（1）∵在黄金中，，

当点是线段的中点时，；

当点是线段的三等分点时，；

故答案为：，；

（2）不变，证明如下：

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴．

（3）∵

，，

当点E在BC上时，CE最短，此时；

当点E在BC的延长线上时，CE最长，此时；

∴线段的长的取值范围是：．