Question

9．已知点O是△ABC的外心，∠A=α，求∠BOC的大小．

Answer 1

分析 这是一道推理说明：同弧所对的圆心角是圆周角的二倍；根据点O的位置分三种情况进行讨论：①当圆心O在∠BAC的内部时，如图1，②当圆心O在∠BAC的边上时，如图2，③当圆心O在∠BAC的外部时，如图3，利用外角定理和半径相等得出结论．

解答 解：分三种情况讨论：
①当圆心O在∠BAC的内部时，如图1，
过A、O作射线AD，
∵∠BOD=∠ABO+∠BAO，
∠COD=∠ACO+∠CAO，
∵OA=OB=OC，
∴∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA，
∴∠BOC=∠BOD+∠DOC=2∠BAO+2∠CAO，
∴∠BOC=2∠BAC，
∵∠BAC=α，
∴∠BOC=2α；
②当圆心O在∠BAC的边上时，如图2，
连接OB，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
∵∠BOC=∠B+∠A，
∴∠BOC=2∠A=2α；
③当圆心O在∠BAC的外部时，如图3，
过点A作直径AD，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BOD=∠B+∠OAB，
∠COD=∠C+∠OAC，
∴∠BOC=∠BOD-∠COD=2∠OAB-2∠OAC=2∠BAC=2α．
综上所述：∠BOC=2α．

点评 在三角形的外接圆中，明确所有的半径都相等，找出圆心角和圆周角，能利用三角形证明角的大小关系的性质（①等边对等角，②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；）得出：①在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角中有一组量相等，则其他各组量都分别相等；②在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的二倍．