Question

已知x，y为正整数，并且xy+x+y=71，x²y+xy²=880，求3x²+8xy+3y²的值．

Answer 1

分析：由已知条件xy+x+y=71可得xy=71-（x+y）；再由x²y+xy²=880可得xy（x+y）=880，把xy=71-（x+y）代入xy（x+y）=880中得式子71（x+y）-（x+y）²=880，然后把其进行因式分解，可以得到x+y的值，再把x+y的值分情况代入xy+x+y=71中，又可以得到xy的值，再根据已知条件x，y为正整数确定x+y和xy的值，最后代入3x²+8xy+3y²中就可以得到结果．

解答：解：∵xy+x+y=71
∴xy=71-（x+y）
∵x²y+xy²=880
∴x²y+xy²=xy（x+y）=[71-（x+y）]*（x+y）=71（x+y）-（x+y）²=880
∴（x+y）²-71（x+y）+880=0
∴[（x+y）-55]•[（x+y）-16]=0
∴（x+y）-55=0或（x+y）-16=0
解得：x+y=55或x+y=16
（1）当x+y=55时，代入xy+x+y=71中得：xy=16
（2）当x+y=16时，代入xy+x+y=71中得：xy=55
因为x，y为正整数，所以结果（1）不可能，去掉
3x²+8xy+3y²=3（x+y）²+2xy
=3×16²+2×55
=3×256+110
=878

点评：此题主要考查了整体代入法，因式分解和分类讨论思想的综合运用，做此类题目时要注意分类讨论时要全面，还要符合题目中的条件，此题综合性较强，难度适中．