Question

【题目】如图，将边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B的对应点M落在边CD上（不与点C、D重合），折痕为EF，AB的对应线段MG交AD于点N．以下结论正确的有（　　）①∠MBN＝45°；②△MDN的周长是定值；③△MDN的面积是定值．

A.①②B.①③C.②③D.①②③

Answer 1

【答案】A

【解析】

连接BM、BN，作BP⊥MN于P．只要证明△BMP≌△BMC，可得MP＝MC，∠PBM＝∠CBM，同理可证：NA＝NP，∠ABN＝∠PBN，由此可判断①②正确．

连接BG、BE，作BP⊥EF于P，如图所示：

由折叠性质可得：BF＝FM，

∴∠MBF＝∠FMB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠C＝∠ABC＝∠NMF＝90°，

∴∠CBM+∠BMC＝90°，∠BMF+∠NMB＝90°，

∴∠BMC＝∠NMB，

又∵BP⊥MN，BC⊥DC，

∴BP＝BC，且∠BMC＝∠NMB，BM＝BM

∴△BPM≌△BCM（SAS），

∴MP＝MC，∠PBM＝∠CBM，

同理可证：NA＝NP，∠ABN＝∠PBN，

∴△MND的周长＝DN+DM+MN＝DN+AN+DM+CM＝AD+CD＝2，

∴△DGE的周长始终为定值．

∵∠ABN+∠PBN+∠PBM+∠CBM＝90°

∴∠MBN＝45°；

∵DM，DN的值不确定，

∴△MDN的面积不确定，

∴③错误．

故①②正确

故选：A．