Question

已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.

（1）如图1，若AB=，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；
（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；
（3）若AB=，设BP=4，求QF的长．

Answer 1

1）EF=2（2）EF=BF，见解析（3）6

解：（1）EF=2．                    3分

（2）EF=BF．                                　　 4分
证明： ∵ ∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP， 
∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP，
∴ ∠BAP="∠EAQ" ．              
在△ABP和△AEQ中， 
AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ，
∴ △ABP≌△AEQ．
∴ ∠AEQ=∠ABP=90°．
∴ ∠BEF．
又∵ ∠EBF=90°-60°=30°，
∴EF=BF．                            8分
　　(3) 在图1中，过点F作FD⊥BE于点D．
    　∵ △ABE是等边三角形,
　 ∴ BE=AB=．
由（2）得 30°，
在Rt△BDF中， ．   
∴ BF= ．  
∴ EF=2 ．  　　　 10分
∵  △ABP≌△AEQ ,
     ∴ QE=BP=4．   　　12分
∴ QF=QE＋EF＝4＋2＝6
（1）利用解直角三角形求解
（2）利用全等三角形求证
(3)过点F作FD⊥BE于点D，利用三角函数求出EF的长，再求证△ABP≌△AEQ，求得QE的长，从而求出QF的长