Question

9．在矩形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，AC，AC⊥BE于点F，连接DF，下列结论．①CF=2AF；②△DEF与△DFA相似；③∠DFC=∠BAC；④当G是BC中点时，有FG=DE，其中正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用矩形的性质得AD∥BC，AD=BC，则AE∥BC，再根据相似三角形的判定得到△AEF∽△CFB，则利用相似比可对①进行判断；作DH⊥CF于H，如图，则EF∥DH，通过判断EF为△ADH的中位线得到AF=HF，所以FH=CH，于是可判定△DFC为等腰三角形得到∠DFC=∠DCF，加上∠DCF=∠BAC，所以∠DFC=∠BAC，则可对③进行判断；利用等角的余角相等得到∠DFE=∠FAD，加上∠EDF=∠FDA，则可判定△DEF∽△DAF，于是可对②进行判断；根据直角三角形斜边上的中线性质可对④进行判断．

解答 解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵点E为AD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△CFB，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{AE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，所以①正确；
作DH⊥CF于H，如图，
∵BE⊥AC，
∴EF∥DH，
∴EF为△ADH的中位线，
∴AF=HF，
而CF=2AF，
∴FH=CH，
∴△DFC为等腰三角形，
∴∠DFC=∠DCF，
而AB∥CD，
∴∠DCF=∠BAC，
∴∠DFC=∠BAC，所以③正确；
∵∠DFC+∠DFE=∠BAC+∠FAD，
∴∠DFE=∠FAD，
而∠EDF=∠FDA，
∴△DEF∽△DAF，所以②正确；
∵G是BC中点，
∴FG=BG=CG，
而AE=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴FG=DE，所以④正确．
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判断：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了矩形的性质和等腰三角形的判定．