Question

如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y = x²－2x－3, D的坐标为（2）是直角三角形,理由见解析（3）P₁（0，0），P₂（9，0）

解：（1）设该抛物线的解析式为，
由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知. （1分）
即抛物线的解析式为．                
把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得 
解得.（3分）∴ 抛物线的解析式为y = x²－2x－3．  
∴ 顶点D的坐标为（4分）.（设为交点式参照给分）
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. （5分）理由如下：
过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，
∴ .在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，
∴ .在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，
∴ . 
∴ ， 故△BCD为直角三角形.（7分）      
（3）符合条件的点有二个：P₁（0，0），P₂（9，0）.
（1）利用待定系数法将A（-1，0）、B（3，0），C（0，-3），代入y=ax²+bx+c，求出二次函数解析式即可；利用配方法直接求出顶点坐标即可；
（2）过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F;根据勾股定理的逆定理进行解答
（3）根据相似三角形的判定方法分别得出即可