Question

【题目】如图，在正方形ABCD中E为AD的中点，连接EC．

（1）作AEF∽DCE，点F在边AB上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）：

（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：AEF∽ECF．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）作∠AEF=∠ECD，进而得出△AEF∽△DCE，即可得出答案；
（2）直接利用相似三角形的性质得出，再利用相似三角形的判定方法得出答案．

（1）如图，以C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交CE、CD于G、H点；以E为圆心，以CG为半径画弧，交EA与M点；以M点为圆心，以GH为半径画弧，交前弧于N点；作射线EF交AB于F点，△AEF即为所求作的三角形；

（2）∵△AEF∽△DCE，

∴，

又∵E为AD的中点，

∴AE＝ED，

∴

∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∠AEF＝∠DCE，

∴∠AEF＋∠DEC＝90°，

∴∠FEC＝90°，

∴∠A＝∠FEC＝90°，

∴△AEF∽△ECF