如图.直线y=2x-2分别与x轴.y轴相交于M.N两点.并且与双曲线y=$\frac{k}{x}$相交于A.B两点.过点A作AC⊥y轴于点C.过点B作BD⊥x轴于点D.AC与BD的延长线交于点E(m.n)．(1)求证:$\frac{EC}{EA}$=$\frac{ED}{EB}$,(2)若$\frac{AM}{BM}$=$\frac{1}{2}$.求$\frac{k}{x}$＞2x-2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

16．

如图，直线y=2x-2分别与x轴、y轴相交于M，N两点，并且与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）相交于A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，AC与BD的延长线交于点E（m，n）．
（1）求证：$\frac{EC}{EA}$=$\frac{ED}{EB}$；
（2）若$\frac{AM}{BM}$=$\frac{1}{2}$，求$\frac{k}{x}$＞2x-2的x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，P为双曲线上一点，以OB，OP为邻边作平行四边形，且平行四边形的周长最小，求第四个顶点Q的坐标．

分析（1）设A（x₁，$\frac{k}{{x}_{1}}$），B（x₂，$\frac{k}{{x}_{2}}$），则有AE=x₁-x₂，BE=$\frac{k}{{x}_{1}}$-$\frac{k}{{x}_{2}}$，EC=-x₂，ED=$\frac{k}{{x}_{1}}$，首先证明$\frac{AE}{BE}$=$\frac{EC}{ED}$，由此即可解决问题．
（2））由DM∥AE，得$\frac{DE}{BD}$=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{1}{2}$，设A（m，n）则B（-$\frac{m}{2}$，-2n），把A、B代入y=2x-2得到$\left\{\begin{array}{l}{n=2m-2}\\{-2n=4m-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，求出A、B两点坐标即可解决问题．
（3）因为点B是定点，OB是定长，所以要求平行四边形OBPQ的周长的最小值只需要求出OP的最小值即可，由P在y=$\frac{4}{x}$上，设P（a，$\frac{4}{a}$），因为OP²=n²+$\frac{16}{{n}^{2}}$=（n-$\frac{4}{n}$）²+8，所以当n-$\frac{4}{n}$=0时，OP²的值最小，由此即可解决问题．

解答（1）证明：设A（x₁，$\frac{k}{{x}_{1}}$），B（x₂，$\frac{k}{{x}_{2}}$），则有AE=x₁-x₂，BE=$\frac{k}{{x}_{1}}$-$\frac{k}{{x}_{2}}$，EC=-x₂，ED=$\frac{k}{{x}_{1}}$，
∵$\frac{AE}{BE}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\frac{k}{{x}_{1}}-\frac{k}{{x}_{2}}}$=-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{k}$，$\frac{EC}{ED}$=$\frac{-{x}_{2}}{\frac{k}{{x}_{1}}}$=-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{k}$，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{EC}{ED}$，
∴$\frac{EC}{EA}$=$\frac{ED}{EB}$．

（2）∵DM∥AE，
∴$\frac{DE}{BD}$=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{1}{2}$，
∴A（m，n）则B（-$\frac{m}{2}$，-2n），
把A、B代入y=2x-2得到$\left\{\begin{array}{l}{n=2m-2}\\{-2n=4m-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴A（2，2），B（-1，-4），
由图象可知，$\frac{k}{x}$＞2x-2时，x＜-1或0＜x＜2．

（3）由（2）可知反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$，A（2，2），B（1，-4），
∵四边形OBPQ是平行四边形，
∴OB=PQ，PO=BQ，
∵点B是定点，∴OB是定长，
∴要求平行四边形OBPQ的周长的最小值只需要求出OP的最小值即可，
∵P在y=$\frac{4}{x}$上，设P（a，$\frac{4}{a}$），
∴OP²=n²+$\frac{16}{{n}^{2}}$=（n-$\frac{4}{n}$）²+8，
∴当n-$\frac{4}{n}$=0时，OP²的值最小，
∴n=±2时，OP有最小值，
∴P（2，2）或（-2，-2），Q（1，-2）或（-3，-6）．

点评本题考查反比例函数综合题、坐标与图象的性质．相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，待定系数法以及三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

练习册系列答案

成龙计划高效课时学案系列答案

超能学典名牌中学期末突破一卷通系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

4．小李在解关于x的方程5a-x=13时，误将“-x”看成“+x”，得到方程的解为x=-2，则原方程的解为x=2．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

5．若分式$\frac{1}{5-x}$与$\frac{2}{2-3x}$的值互为相反数，则x=2.4．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

4．分类讨论
已知（x-1）^x+6=1，求x的值．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

11．“上海迪士尼乐园”将于2016年6月16日开门迎客，小明准备利用暑假从距上海2160千米的某地去“上海迪士尼乐园”参观游览，下图是他在火车站咨询得到的信息：

根据上述信息，求小明乘坐城际直达动车到上海所需的时间．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

1．

给下面命题的说理过程填写依据．
已知：如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，OF平分∠BOD，对∠EOF=$\frac{1}{2}$∠BOC说明理由．
理由：因为∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOD（角平分线的定义），
     所以∠BOF=$\frac{1}{2}$∠AOC（等量代换）
     因为∠AOC=180°-∠BOC（平角得的定义），
     所以∠BOF=90°-$\frac{1}{2}$∠BOC．
     因为EO⊥CD（已知），
    所以∠COE=90°（垂直的定义）
     因为∠BOE+∠COE=∠BOC（两角和的定义），
    所以∠BOE=∠BOC-∠COE．
    所以∠BOE=∠BOC-90°（等量代换）
    因为∠EOF=∠BOE+∠BOF（两角和的定义）
    所以∠EOF=（∠BOC-90°）+（90°-$\frac{1}{2}$∠BOC）（等量代换）
    所以∠EOF=$\frac{1}{2}$∠BOC．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

8．如果圆环中大圆的半径为r，小圆的半径为$\frac{r}{2}$，则圆环的面积是$\frac{3}{4}$πr²．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

5．（1）已知⊙O的半径为5，P为⊙O内一点，且OP=3；过点P的弦长是整数的弦有4条；
（2）如图⊙O的直径是10，弦AB=6，P是AB上一动点，则OP的取值范围是4≤OP≤5．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

6．

如图，点A坐标为（4，0），点P在第一象限且在直线y=-x+5上．
（1）设点P坐标为（x，y），写出△OPA的面积S与x之间的关系式（其中点P横坐标在O与A点之间变化）；
（2）当S=12时，求点P的坐标；
（3）若△OPA是直角三角形，求P点坐标，并求面积．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学