Question

在一个风筝ABCD中，AB=AD，BC=DC
①分别在AB、AD的中点E、F处拉两根彩线EC、FC，证明：这两根彩线的长度相等；
②如果AE=

1

3

AB，AF=

1

3

AD，那么彩线的长度相等吗？
如果AE=

1

4

AB，AF=

1

4

AD呢？由此你能得到什么结论？
③除了①②的条件外，你还能在哪些已知条件下得到两根彩线的长度相等的结论？

Answer 1

考点：全等三角形的应用

专题：

分析：①连接AC，先利用SSS证明△ABC≌△ADC，根据全等三角形的对应角相等得出∠1=∠2，再利用SAS证明△EAC≌△FAC，即可得到EC=FC；
②当AE=

1

3

AB，AF=

1

3

AD时，彩线的长度相等；当AE=

1

4

AB，AF=

1

4

AD时，彩线的长度相等；同上证明△ABC≌△ADC，△EAC≌△FAC，即可得到EC=FC；由此可得结论：当AE=

1

n

AB，AF=

1

n

AD时，这两根彩线的长相等．
③根据①②中所求，进而得出答案．

解答：①证明：如图，连结AC．
在△ABC与△ADC中，

AB=AD BC=DC AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠1=∠2．
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴AE=

1

2

AB，AF=

1

2

AD，
∵AB=AD，
∴AE=AF．
在△AEC与△AFC中，

AE=AF ∠1=∠2 AC=AC

，
∴△AEC≌△AFC（SAS），
∴EC=FC，
∴这两根彩线的长相等；

②解：当AE=

1

3

AB，AF=

1

3

AD时，彩线的长度相等，理由如下：
连接AC，
在△ABC与△ADC中，

AB=AD BC=DC AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠1=∠2．
∵AE=

1

3

AB，AF=

1

3

AD，
∴AE=AF．
在△AEC与△AFC中，

AE=AF ∠1=∠2 AC=AC

，
∴△AEC≌△AFC（SAS），
∴EC=FC，
∴这两根彩线的长相等．
当AE=

1

4

AB，AF=

1

4

AD时，彩线的长度相等，理由如下：
连接AC，
在△ABC与△ADC中，

AB=AD BC=DC AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠1=∠2．
∵AE=

1

4

AB，AF=

1

4

AD，
∴AE=AF．
在△AEC与△AFC中，

AE=AF ∠1=∠2 AC=AC

，
∴△AEC≌△AFC（SAS），
∴EC=FC，
∴这两根彩线的长相等．
由此可得结论：当AE=

1

n

AB，AF=

1

n

AD时，这两根彩线的长相等．

③解：当BE=DF时，两根彩线的长相等．

点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质及学生对规律的探索能力，难度适中．本题通过作出辅助线，构造三角形全等的条件，判定三角形全等，从而利用三角形全等的性质得到边相等．