Question

18．如图①，OP是∠MON的平分线
（1）请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（2）中的其它条件不变，请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据要求在OP上任取一点E，过E分别作两边的垂线，这样就可以利用AAS来判定三角形全等；
（2）先在AC上截取AG=AE，连结FG，利用SAS判定△AEF≌△AGF，得出∠AFE=∠AFG，FE=FG，再利用ASA判定△CFG≌△CFD，得到FG=FD，进而得出FE=FD；
（3）先过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，则∠FGE=∠FHD=90°，根据已知条件得到∠GEF=∠HDF，进而判定△EGF≌△DHF（AAS），即可得出FE=FD．也可以过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，再判定△EFG≌△DFH（ASA），进而得出FE=FD．

解答 解：（1）如图①，在OP上任取一点E，过E分别作CE⊥OA于C，ED⊥OB于D，可得△OEC≌△OED；


（2）FE与FD之间的数量关系为：FE=FD．
理由：如图②，在AC上截取AG=AE，连结FG，

∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△AEF与△AGF中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE\\;}\\{∠1=∠2}\\{AF=AF（公共边）}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG，
∵∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴2∠2+2∠3+∠B=180°，
∴∠2+∠3=60°，
又∵∠AFE为△AFC的外角，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=∠2+∠3=60°，
∴∠CFG=180°-60°-60°=60°，
∴∠GFC=∠DFC，
在△CFG与△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GFC=∠DFC\\;}\\{FC=FC（公共边）}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$，
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴FG=FD，
∴FE=FD；

（3）结论FE=FD仍然成立．
证法1：如图③，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，则∠FGE=∠FHD=90°，

∵∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴∠2+∠3=60°，F是△ABC的内心，
∴∠GEF=∠BAC+∠3=∠1+∠2+∠3=60°+∠1，
∵F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上，
∴FG=FH，
又∵∠HDF=∠B+∠1=60°+∠1，
∴∠GEF=∠HDF，
在△EGF与△DHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GEF=∠HDF}\\{∠FGE=∠FHD=90°}\\{FG=FH}\end{array}\right.$，
∴△EGF≌△DHF（AAS），
∴FE=FD．

证法2：如图③，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FK，
在四边形BGFH中，∠GFH=360°-60°-90°×2=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∠B=60°，
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，
在△AFC中，∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-60°=120°，
∴∠EFD=∠AFC=120°，
∴∠EFG=∠DFH，
在△EFG和△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFG=∠DFH}\\{∠EGF=∠DHF=90°}\\{FG=FH}\end{array}\right.$，
∴△EFG≌△DFH（ASA），
∴FE=FD．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，角平分线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．