Question

已知：如图，BE是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，OC∥DE交⊙O于点D，CD的延长线与BE的延长线交于A点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD=4，CD=6，求tan∠ADE的值．

Answer 1

分析：（1）连接OD，证OD⊥AC即可；由于BC且⊙O于B，根据切线的性质知∠CBO=90°，所以可通过证△CBO≌△CDO来得到∠ODC=90°的结论；已知的等量条件有：OB=OD、OC=OC，还需证得∠COD=∠COB，由于OE=OD，得∠ODE=∠OED，由OC∥DE，得∠OED=∠COB，等量代换后即可得∠COD=∠COB，由此得证．
（2）由于DE∥OC，那么同位角∠ADE=∠OCA=∠OCB，因此只需在Rt△OCB中求得∠OCB的正切值即可，由切线长定理可知BC=CD=6，缺少的条件是⊙O的半径长；易证得△ADO∽△ABC，易知AC、BC的值，由勾股定理可求得AB的长，进而可根据相似三角形所得比例线段求得OD的长，即可得OB的值，由此得解．

解答：解：（1）证明：连接OD．（1分）
∵CB是⊙O的切线，
∴∠CBO=90°，
∵ED∥OC，
∴∠DEO=∠COB，∠EDO=∠DOC；
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠DOC=∠COB；
∵OC=OC，OD=OB，
∴△CDO≌△CBO；
∴∠CDO=∠CBO=90°，
∴AC是⊙O的切线．（2分）

（2）∵AC，BC是⊙O的切线，
∴CD=CB=6，∠DCO=∠OCB；（3分）
∵∠ABC=90°，AC=10，BC=6，
∴AB=8；
∵ED∥OC，
∴∠ADE=∠DCO，
∴∠ADE=∠OCB；
∵∠A=∠A，∠ADO=∠ABC=90°，
∴△ADO∽△ABC，
∴

AD

OD

=

AB

BC

，
∴OD=3；（4分）
∴tan∠ADE=tan∠OCB=

1

2

．（5分）

点评：此题主要考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理以及锐角三角函数的定义等知识，难度适中．