Question

3．一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC=EF=12cm（如图1），点G为边BC（EF）的中点，边FD与AB相交于点H，此时线段BH的长是（12$\sqrt{3}$-12）cm．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长共为（12$\sqrt{3}$-18）cm．（结果保留根号）

Answer 1

分析 如图1中，作HM⊥BC于M，设HM=CM=a．在Rt△BHM中，BH=2HM=2a，BM=$\sqrt{3}$a，根据BM+MF=BC，可得$\sqrt{3}$a+a=12，推出a=6$\sqrt{3}$-6，推出BH=2a=12$\sqrt{3}$-12．如图2中，当DG⊥AB时，易证GH₁⊥DF，此时BH₁的值最小，易知BH₁=BK+KH₁=3$\sqrt{3}$+3，当旋转角为60°时，F与H₂重合，易知BH₂=6$\sqrt{3}$，观察图象可知，在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长=2HH₁+HH₂，由此即可解决问题．

解答 解：如图1中，作HM⊥BC于M，设HM=a，则CM=HM=a．

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，BC=12，
在Rt△BHM中，BH=2HM=2a，BM=$\sqrt{3}$a，
∵BM+FM=BC，
∴$\sqrt{3}$a+a=12，
∴a=6$\sqrt{3}$-6，
∴BH=2a=12$\sqrt{3}$-12．
如图2中，当DG⊥AB时，易证GH₁⊥DF，此时BH₁的值最小，易知BH₁=BK+KH₁=3$\sqrt{3}$+3，

∴HH₁=BH-BH₁=9$\sqrt{3}$-15，
当旋转角为60°时，F与H₂重合，易知BH₂=6$\sqrt{3}$，
观察图象可知，在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长=2HH₁+HH₂=18$\sqrt{3}$-30+[6$\sqrt{3}$-（12$\sqrt{3}$-12）]=12$\sqrt{3}$-18．
故答案为（12$\sqrt{3}$-12）cm，（12$\sqrt{3}$-18）cm．

点评 本题考查轨迹、旋转变换、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找点H的运动轨迹，属于中考常考题型．