(1)如图1.在△ADC中.P为△ADC内一点.DP.CP分别平公∠ADC和∠ACD.如果∠A=60°.那么∠P= °,如果∠A=90°.那么∠P= °,如果∠A=x°.则∠P= °,中的△ADC改为四边形ABCD.P为四边形ABCD内一点.DP.CP分别平分∠ADC和∠BCD.试探究∠P与∠A+∠B的数量关系.并写出你的探索过程,中的△ADC改为五边形ABCDE.其他条件不变.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（1）如图1，在△ADC中，P为△ADC内一点，DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，如果∠A=60°，那么∠P=

°；如果∠A=90°，那么∠P=

°；如果∠A=x°，则∠P=

°；（用含x的代数式表示）
（2）如图2，若将（1）中的△ADC改为四边形ABCD，P为四边形ABCD内一点，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并写出你的探索过程；
（3）如图3，若将（1）中的△ADC改为五边形ABCDE，其他条件不变，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E的数量关系：

；
（4）如图4，若将（1）中的△ADC改为六边形ABCDEF，其他条件不变，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：

；
（5）若将（1）中的△ADC改为n边形A₁A₂A₃…A_n，P为n边形A₁A₂A₃…A_n内一点，PA₁平分∠A_nA₁A₂，PA₂平分∠A₁A₂A₃，请直接写出∠P与∠A₃+A₄+A₅+…∠A_n的数量关系：

．（用含n的代数式表示）

考点：多边形内角与外角,三角形内角和定理

专题：规律型

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠PDC=

∠ADC，∠PCD=

∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
（2）根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（3）根据五边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（4）根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（5）根据n边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可．

解答：解：（1）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=

∠ADC，∠PCD=

∠ACD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-

∠ADC-

∠ACD
=180°-

（∠ADC+∠ACD）
=180°-（180°-∠A）
=90°+

∠A，
∴如果∠A=60°，那么∠P=120°；如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，则∠P=（90+

）°；

（2）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=

∠ADC，∠PCD=

∠BCD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-

∠ADC-

∠BCD
=180°-

（∠ADC+∠BCD）
=180°-

（360°-∠A-∠B）
=

（∠A+∠B）；

（3）五边形ABCDEF的内角和为：（5-2）•180°=540°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠P=

∠EDC，∠PCD=

∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-

∠EDC-

∠BCD
=180°-

（∠EDC+∠BCD）
=180°-

（540°-∠A-∠B-∠E）
=

（∠A+∠B+∠E）-90°，
即∠P=

（∠A+∠B+∠E）-90°．

（4）六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）•180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=

∠EDC，∠PCD=

∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-

∠EDC-

∠BCD
=180°-

（∠EDC+∠BCD）
=180°-

（720°-∠A-∠B-∠E-∠F）
=

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P=

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．

（5）同（1）可得，∠P=

（∠A₃+A₄+A₅+…∠A_n）-（n-4）×90°．
故答案为：120，135，（90+

）；

（∠A+∠B）；∠P=

（∠A+∠B+∠E）-90°；∠P=

（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°；，∠P=

（∠A₃+A₄+A₅+…∠A_n）-（n-4）×90°．

点评：本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．

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．

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