(1)在玩中发现图1所示是三块完全相同的含30°角的三角板.小慧在平整的桌面上对这三块三角板进行了如下操作:如图2.将其中两块三角板的30°角所对的边紧贴在一起.将另两条直角边摆成一条直线.得到△ABC.将第三块三角板的30°角的顶点与前两块三角板的直角顶点P重叠在一起.PH交AB于点E．PD交AC于点F.连接EF．小慧发现:当EF∥BC时.△BPE� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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9．（1）在玩中发现
图1所示是三块完全相同的含30°角的三角板，小慧在平整的桌面上对这三块三角板进行了如下操作：如图2，
将其中两块三角板的30°角所对的边紧贴在一起，将另两条直角边摆成一条直线，得到△ABC，将第三块三角板的30°角的顶点与前两块三角板的直角顶点P重叠在一起，PH交AB于点E．PD交AC于点F，连接EF．小慧发现：当EF∥BC时，△BPE≌△CPF．
请问：小慧发现的结论成立吗？为什么？
（2）在交流中猜想：
小慧把她的发現告诉数学兴趣小组的其他同学，他们在讨论、交流中猜想：如图3，在△ABC中，点P是BC边上的任一点（点P与点B，C不重合），∠XPY的两边PX，PY分别与AB，AC边交于点E，F，如果∠B=∠C=∠EPF，那么△BPE与△CPF相似．
请问：他们的猜想正确吗？为什么？

（3）在探讨中拓展：
数学兴趣小组的同学们把他们的猜想告诉了李老师，李老师鼓励了他们的做法，并给了他们新的思考任务：如图4，在△ABC中，如果点P在CB边的延长线上，∠XPY的两边PX、PY分别与BA、AC边的廷长线交于点E、F，如果∠ABC=∠ACB=∠EPF，那么，还有三角形会相似吗？如果有，请直接写出来．
请完成李老师所给的思考任务．

分析（1）由三块完全相同的含30°角的三角板得出PB=PC，AB=AC，∠B=∠C=30°，由平行线的性质得出∠AEF=∠AFE=30°，证出BE=CF，由SAS证明△BPE≌△CPF即可；（2）由三角形的外角性质和已知条件证出∠EPB=∠PFC，再由∠B=∠C，即可证出△BPE∽△CPF；
（3）证出∠EBP=∠FCP，∠BEP=∠CPF，即可得出△BPE∽△CPF．

解答解：（1）小慧发现的结论成立；理由如下：
∵三块完全相同的含30°角的三角板，
∴PB=PC，AB=AC，∠B=∠C=30°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=30°，
∴AE=AF，
∴BE=CF，
在△BPE和△CPF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠B=∠C}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△CPF（SAS）；
（2）他们的猜想正确；理由如下：
∵∠FPB=∠PFC+∠C，∠FPB=∠EPF+∠EPB，∠EPB=∠C，
∴∠EPB=∠PFC，
∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CPF；
（3）△BPE∽△CPF；理由如下：
∵∠EBP=∠BAC+∠ACB，∠FCP=∠BAC+∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠EBP=∠FCP，
∵∠ABC=∠BEP+∠BPE，∠EPF=∠BPE+∠CPF，∠ABC=∠EPF，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CPF．

点评本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．

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