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【题目】在平面直角坐标系xOy(如图),已知抛物线y=ax2+4ax+c(a≠0)经过A(04)B(31),顶点为C

(1)求该抛物线的表达方式及点C的坐标;

(2)(1)中求得的抛物线沿y轴向上平移m(m0)个单位,所得新抛物线与y轴的交点记为点D.当△ACD时等腰三角形时,求点D的坐标;

(3)若点P(1)中求得的抛物线的对称轴上,联结PO,将线段PO绕点P逆时针转90°得到线段PO′,若点O′恰好落在(1)中求得的抛物线上,求点P的坐标.

【答案】1y=x2+4x+4C坐标为(﹣20);(2D坐标为(02+4);(3P的坐标为(﹣22),(﹣2,﹣1

【解析】

1)将AB坐标代入抛物线解析式中求出ac的值,即可确定出抛物线解析式,配方后即可求出顶点C的坐标;
2)由平移规律即C的坐标表示出D的坐标,在直角三角形AOC中,由OAOC的长,利用勾股定理求出AC的长,由图形得到∠DAC为钝角,三角形ACD为等腰三角形,只有DA=AC,求出DA的长,即为m的值,即可确定出D的坐标;
3)由P在抛物线的对称轴上,设出P坐标为(-2n),如图所示,过O′O′Mx轴,交x轴于点M,过PPNO′M,垂足为N,由旋转的性质得到一对边相等,再由同角的余角相等得到一对角相等,根据一对直角相等,利用AAS得到△PCO≌△PNO′,由全等三角形的对应边相等得到O′N=OC=2PN=PC=|n|,再由PCMN为矩形得到MN=PC=|n|,分n大于0与小于0两种情况表示出O′坐标,将O′坐标代入抛物线解析式中求出相应n的值,即可确定出P的坐标.

1)将AB坐标分别代入抛物线解析式得:
解得:
∴抛物线解析式为y=x2+4x+4=x+22
∴顶点C坐标为(-20);

2)由题意得:D0m+4),

RtAOC中,OA=4OC=2

根据勾股定理得:

由图形得到∠DAC为钝角,要使△ACD为等腰三角形,只有DA=AC=2

DA=m=2

D坐标为(02+4);

3)设P(﹣2n),如图所示,过O′O′Mx轴,交x轴于点M,过PPNO′M,垂足为N

易得PO=PO′,∠PCO=PNO′=90°,∠CPO=NPO′

∴△PCO≌△PNO′AAS),

O′N=OC=2PN=PC=|n|

∵四边形PCMN为矩形,

MN=PC=|n|

①当n0时,O′n2n+2),代入抛物线解析式得:n2n2=0

解得:n=2n=1(舍去);

②当n0时,O′n2n+2),代入抛物线解析式得:n2n2=0

解得:n=2(舍去)或n=1

综上①②得到n=2或﹣1

P的坐标为(﹣22),(﹣2,﹣1).

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