【题目】在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=ax2+4ax+c(a≠0)经过A(0,4),B(﹣3,1),顶点为C.
(1)求该抛物线的表达方式及点C的坐标;
(2)将(1)中求得的抛物线沿y轴向上平移m(m>0)个单位,所得新抛物线与y轴的交点记为点D.当△ACD时等腰三角形时,求点D的坐标;
(3)若点P在(1)中求得的抛物线的对称轴上,联结PO,将线段PO绕点P逆时针转90°得到线段PO′,若点O′恰好落在(1)中求得的抛物线上,求点P的坐标.
【答案】(1)y=x2+4x+4,C坐标为(﹣2,0);(2)D坐标为(0,2+4);(3)P的坐标为(﹣2,2),(﹣2,﹣1)
【解析】
(1)将A与B坐标代入抛物线解析式中求出a与c的值,即可确定出抛物线解析式,配方后即可求出顶点C的坐标;
(2)由平移规律即C的坐标表示出D的坐标,在直角三角形AOC中,由OA与OC的长,利用勾股定理求出AC的长,由图形得到∠DAC为钝角,三角形ACD为等腰三角形,只有DA=AC,求出DA的长,即为m的值,即可确定出D的坐标;
(3)由P在抛物线的对称轴上,设出P坐标为(-2,n),如图所示,过O′作O′M⊥x轴,交x轴于点M,过P作PN⊥O′M,垂足为N,由旋转的性质得到一对边相等,再由同角的余角相等得到一对角相等,根据一对直角相等,利用AAS得到△PCO≌△PNO′,由全等三角形的对应边相等得到O′N=OC=2,PN=PC=|n|,再由PCMN为矩形得到MN=PC=|n|,分n大于0与小于0两种情况表示出O′坐标,将O′坐标代入抛物线解析式中求出相应n的值,即可确定出P的坐标.
(1)将A,B坐标分别代入抛物线解析式得: ,
解得: ,
∴抛物线解析式为y=x2+4x+4=(x+2)2,
∴顶点C坐标为(-2,0);
(2)由题意得:D(0,m+4),
在Rt△AOC中,OA=4,OC=2,
根据勾股定理得: ,
由图形得到∠DAC为钝角,要使△ACD为等腰三角形,只有DA=AC=2,
∴DA=m=2,
则D坐标为(0,2+4);
(3)设P(﹣2,n),如图所示,过O′作O′M⊥x轴,交x轴于点M,过P作PN⊥O′M,垂足为N,
易得PO=PO′,∠PCO=∠PNO′=90°,∠CPO=∠NPO′,
∴△PCO≌△PNO′(AAS),
∴O′N=OC=2,PN=PC=|n|,
∵四边形PCMN为矩形,
∴MN=PC=|n|,
①当n>0时,O′(n﹣2,n+2),代入抛物线解析式得:n2﹣n﹣2=0,
解得:n=2或n=﹣1(舍去);
②当n<0时,O′(n﹣2,n+2),代入抛物线解析式得:n2﹣n﹣2=0,
解得:n=2(舍去)或n=﹣1,
综上①②得到n=2或﹣1,
则P的坐标为(﹣2,2),(﹣2,﹣1).
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【题目】已知:如图,在中,分别在边的中点,是对角线,过点作,交的延长线于.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)若四边形是矩形,则四边形是什么特殊四边形?并证明你的结论.
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【题目】某地区为了了解当年春游时学生的个人消费情况,从其中一所学校的初三年级中随机抽取了部分学生春游消费情况进行调查,并将这部分学生的消费额绘制成频率分布直方图.已知从左至右第一组的人数为12名.请根据所给的信息回答:
(1)被抽取调查的学生人数为 名;
(2)从左至右第五组的频率是 ;
(3)假设每组的平均消费额以该组的最小值计算,那么被抽取学生春游的最低平均消费额为 元;
(4)以第(3)小题所求得的最低平均消费额来估计该地区全体学生春游的最低平均消费额,你认为是否合理?请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y的图象经过点P(3,4).
(1)求k的值;
(2)求OP的长;
(3)直线y=mx(m≠0)与反比例函数的图象有两个交点A,B,若AB>10,直接写出m的取值范围.
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【题目】如图,点C是⊙O优弧ACB上的中点,弦AB=8cm,E为OC上任意一点,动点F从点A出发,以每秒1cm的速度沿AB方向向点B匀速运动,若y=AE2﹣EF2,则y与动点F的运动时间x(0≤x≤4)秒的函数关系式为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=45°,∠B=60°,BC为+1,点P为边AB上一动点,过点P作PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E,则DE的最小值为_____.
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【题目】在平面直角坐标系中,O为原点,点A(4,0),点B(0,3),△ABO绕点B顺时针旋转,得△A′BO′,点A、O旋转后的对应点为A′、O′,记旋转角为α.
(1)如图1,若α=90°,求AA′的长;
(2)在(1)的条件下,边OA上的一点M旋转后的对应点为N,当O′M+BN取得最小值时,在图中画出求点M的位置,并求出点N的坐标。
(3)如图2,在△ABO绕点B顺时针旋转过程中,以AB、A′B为邻边画菱形AB A′E,F是AB的中点,连A′F交BE于P,BP的垂直平分线交AB于K,当α从60°到90°的变化过程中,点K的位置是否变化?若不变,求BK的长并直接写出此变化过程中点P的运动路径长.
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【题目】某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间(单位:h),随机调査了该校的部分初中学生.根据调查结果,绘制出如下的统计图1和图2.请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)本次接受调查的初中学生人数为 ,图1中m的值为 ;
(Ⅱ)求统计的这组每天在校体育活动时间数据的众数和中位数;
(Ⅲ)根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据,若该校共有1200名初中学生,估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数.
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【题目】如图1,△ABC内接于圆O,连接AO,延长AO交BC于点D,AD⊥BC.
(1)求证:AB=AC;
(2)如图2,在圆O上取一点E,连接BE、CE,过点A作AF⊥BE于点F,求证:EF+CE=BF;
(3)如图3在(2)的条件下,在BE上取一点G,连接AG、CG,若∠AGB+∠ABC=90°,∠AGC=∠BGC,AG=6,BG=5,求EF的长.
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