如图(1).将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置.其中∠C=90°.∠B=∠E=30°．操作发现:如图(2):固定△ABC.使△DEC绕点C旋转.当点D恰好落在AB边上时.填空:(1)线段DE与线段AC的位置关系是DE∥AC．(2)设△BDC的面积为S1.△AEC的面积为S2.则S1与S2的数量关系是S1=S2．猜想论证:(3)当△DEC绕� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．如图（1），将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
操作发现：
如图（2）：固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
（1）线段DE与线段AC的位置关系是DE∥AC．
（2）设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂，则S₁与S₂的数量关系是S₁=S₂．
猜想论证：
（3）当△DEC绕点C旋转到图（3）的位置时，小明猜想．（2）中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

分析（1）根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
（2）根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=$\frac{1}{2}$AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
（3）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．

解答（1）解：DE∥AC，理由如下：
∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
故答案为：DE∥AC；
（2）解：∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴BD=AD=AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S₁=S₂；
故答案为：S₁=S₂；
（3）证明：∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
在△ACN和△DCM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACN=∠DCM}&{\;}\\{∠CMD=∠N=90°}&{\;}\\{AC=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S₁=S₂．

点评本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键．

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