Question

5．已知A（x₀，y₀）、B（-2，y₁）、C（1，y₂）、D（2，y₃）是抛物线y=$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{2}x$+$\sqrt{3}$上的四点，且AD∥BC，则点A的坐标为（$\frac{3-2\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 把B（-2，y₁）、C（1，y₂），D（2，y₃）代入y=$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{2}x$+$\sqrt{3}$求得y₁=5$\sqrt{3}$-4$\sqrt{2}$，y₂=2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{2}$，y₃=5$\sqrt{3}$+4$\sqrt{2}$，然后根据待定系数法求得直线BC的解析式，根据平行线的性质设直线AD的解析式为y=$\sqrt{3}$x+n，代入D的坐标求得n的值，最后联立方程解方程即可求得A的坐标．

解答 解：把B（-2，y₁）、C（1，y₂），D（2，y₃）代入y=$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{2}x$+$\sqrt{3}$得，
y₁=4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$=5$\sqrt{3}$-4$\sqrt{2}$，y₂=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{2}$，y₃=4$\sqrt{3}$+4$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$=5$\sqrt{3}$+4$\sqrt{2}$，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5\sqrt{3}-4\sqrt{2}=-2k+b}\\{2\sqrt{3}+2\sqrt{2}=k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=\sqrt{3}+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴y=$\sqrt{3}x$+$\sqrt{3}$+2$\sqrt{2}$，
∵AD∥BC，
∴设直线AD的解析式为y=$\sqrt{3}$x+n，
代入D（2，5$\sqrt{3}$+4$\sqrt{2}$）得5$\sqrt{3}$+4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{3}$+n，解得n=3$\sqrt{3}$+4$\sqrt{2}$，
∴直线AD的解析式为y=$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$+4$\sqrt{2}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+3\sqrt{3}+4\sqrt{2}}\\{y=\sqrt{3}{x}^{2}+2\sqrt{2}x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{2}=5\sqrt{3}+4\sqrt{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{3-2\sqrt{6}}{3}}\\{{y}_{2}=\sqrt{3}-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴A（$\frac{3-2\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$）．
故答案为（$\frac{3-2\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数和一次函数的交点等，求得直线AD的解析式是解题的关键．