Question

如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO=90°-∠BDO．
（1）求证：AC=BC；

（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO，求BC+EC的长；

（3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当H在FC上移动、点G点在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由题意∠CAO=90°-∠BDO，可知∠CAO=∠CBD，CD平分∠ACB与y轴交于D点，所以可由AAS定理证明△ACD≌△BCD，由全等三角形的性质可得AC=BC；
（2）过D作DN⊥AC于N点，可证明Rt△BDO≌Rt△EDN、△DOC≌△DNC，因此，BO=EN、OC=NC，所以，BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC，即可得BC+EC的长；
（3）在x轴的负半轴上取OM=FH，可证明△DFH≌△DOM、△HDG≌△MDG，因此，MG=GH，所以，GH=OM+OG=FH+OG，即可证明所得结论．

解答：（1）证明：∵∠CAO=90°-∠BDO，
∴∠CAO=∠CBD．
在△ACD和△BCD中

∠ACD=∠BCD ∠CAO=∠CBD CD=CD

，
∴△ACD≌△BCD（AAS）．
∴AC=BC．

（2）解：由（1）知∠CAD=∠DEA=∠DBO，
∴BD=AD=DE，过D作DN⊥AC于N点，如右图所示：
∵∠ACD=∠BCD，
∴DO=DN，
在Rt△BDO和Rt△EDN中

BD=DE DO=DN

，
∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL），
∴BO=EN．
在△DOC和△DNC中，

∠DOC=∠DNC=90° ∠OCD=∠NCD DC=DC

∴△DOC≌△DNC（AAS），
可知：OC=NC；
∴BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC=8．

（3）GH=FH+OG．
证明：由（1）知：DF=DO，
在x轴的负半轴上取OM=FH，连接DM，如右图所示：
在△DFH和△DOM中

DF=DO ∠DFH=∠DOM=90° OM=FH

，
∴△DFH≌△DOM（SAS）．
∴DH=DM，∠1=∠ODM．
∴∠GDH=∠1+∠2=∠ODM+∠2=∠GDM．
在△HDG和△MDG中

DH=DM ∠GDH=∠GDM DG=DG

，
∴△HDG≌△MDG（SAS）．
∴MG=GH，
∴GH=OM+OG=FH+OG．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出辅助线是解决问题的关键．