Question

20．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2），点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当四边形CDBF的面积最大时，E点的坐标为（2，1）．

Answer 1

分析 由于四边形CDBF的面积等于△CDB的面积与△BCF的面积之和，当四边形CDBF的面积最大时，即△BCF最大，设点E的坐标为（x，y），利用点E的坐标表示出△BCF的面积即可求出点E的坐标．

解答 解：过点E作EG⊥x轴于点G，交抛物线于F，
将A（-1，0），C（0，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n
$\left\{\begin{array}{l}{2=n}\\{0=-\frac{1}{2}-m+n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2
令y=0代入y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴0=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2
解得：x=-1或x=4
∴B（4，0）
∴OB=4
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（4，0）和C（0，2）代入y=kx+b
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=4k+b}\\{2=b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
设E的坐标为：（x，-$\frac{1}{2}$x+2）
∴F（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2）
∴EF=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2-（-$\frac{1}{2}$x+2）=-$\frac{1}{2}$x²+2x，
∴△BCF的面积为：$\frac{1}{2}$EF•OB=2（-$\frac{1}{2}$x²+2x）=-x²+4x=-（x-2）²+4
四边形CDBF的面积最大时，只需要△BCF的面积最大即可，
∴当x=2时，
△BCF的面积可取得最大值，
此时E的坐标为（2，1）

点评 本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是求出△BCF的面积的表达式，本题属于中等题型．