Question

已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于点D，以D为坐标原点，CD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若⊙O₁，⊙O₂分别为△ACD，△BCD的内切圆，求直线O₁O₂的解析式；
（3）若直线O₁O₂分别交AC，BC于点M，N，判断CM与CN的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据题意先证明△ADC∽△ACB，所以AC²=AD•AB，求得AD的长，同理DB，CD，从而求出A，B，C三点坐标；
（2）设⊙O₁的半径为r₁，⊙O₂的半径为r₂，根据面积公式可知S_△ADC，从而得到r₁，r₂，由此可求得直线O₁O₂的解析式；
（3）由（1）易得直线AC的解析式，联立直线O₁O₂的解析式，求得点M的纵坐标为，过点M作ME⊥y轴于点E，由Rt△CME∽Rt△CAD得出比例关系，解得CM的长，同理得CN的长，再判断CM与CN的大小关系．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，CD⊥AB
∴△ADC∽△ACB，∴AC²=AD•AB，
∴AD=

16

5

；
同理DB=

9

5

，CD=

12

5

，
∴A（-

16

5

，0），B（

9

5

，0），C（0，

12

5

）

（2）设⊙O₁的半径为r₁，⊙O₂的半径为r₂，
则有S_△ADC=

1

2

AD•CD=

1

2

（AD+CD+AC）r₁
∴r1=

AD•CD

AD+CD+AC

=

4

5

，同理r2=

3

5

；
∴O1(-

4

5

，

4

5

)，O2(

3

5

，

3

5

)；
由此可求得直线O₁O₂的解析式为：y=-

1

7

x+

24

35

；

（3）CM与CN的大小关系是相等．
证明如下：法一：由（1）易得直线AC的解析式为：y=

3

4

x+

12

5

，
联立直线O₁O₂的解析式，求得点M的纵坐标为yM=

24

25

，
过点M作ME⊥y轴于点E，
∴CE=CD-DE=

36

25

；由Rt△CME∽Rt△CAD，得

CE

CD

=

CM

CA

，
解得：CM=

12

5

，同理CN=

12

5

，∴CM=CN；
法二：∵⊙O₁，⊙O₂分别为△ACD，△BCD的内切圆，
∴∠O₁DE=∠O₂DE=

1

2

×90°=45°，
∴∠O₁DO₂=90°，
∴∠O₁DO₂=∠ACB
∵△ACD∽△CBD，⊙O₁，⊙O₂分别为△ACD，△BCD的内切圆，
∴

DO1

DO2

=

AC

BC

∴Rt△O₁O₂D∽Rt△ABC，
∴∠O₂O₁D=∠BAC，
由此可推理：∠CMN=∠O₁DA=45°，
∴∠CNM=45°，∴CM=CN．

点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用，解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．