Question

（1）已知有一条抛物线的形状（开口方向和开口大小）与抛物线y=2x²相同，它的对称轴是直线x=-2；且当x=1时，y=6，求这条抛物线的解析式．
（2）定义：如果点P（t，t）在抛物线上，则点P叫做这条抛物线的不动点．
①求出（1）中所求抛物线的所有不动点的坐标；
②当a、b、c满足什么关系式时，抛物线y=ax²+bx+c上一定存在不动点．

Answer 1

分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，由题意代入数值求出a，b，c即可；
（2）①设P（t，t）是抛物线的不动点，则2t²+8t-4=t解得t的值，求得点P坐标；
②设P（t，t）是抛物线的不动点，则at²+bt+c=t分两种情况讨论：当（b-1）²-4ac≥0时，这个方程有实数解；当△=（b-1）²-4ac≥0时，抛物线上一定存在不动点．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）
由已知可得a=2，∴

- b 4 =-2 6=2+b+c

．
解得：b=8，c=-4
∴抛物线的解析式为y=2x²+8x-4（2分）
（2）①设P（t，t）是抛物线的不动点，则2t²+8t-4=t
解得：t1=

1

2

，t2=-4，∴不动点P1(

1

2

，

1

2

)，P2(-4，-4)（4分）
②设P（t，t）是抛物线的不动点，则at²+bt+c=t
∴at²+（b-1）t+c=0
∴当（b-1）²-4ac≥0时，这个方程有实数解，
∴当△=（b-1）²-4ac≥0时，抛物线上一定存在不动点．（6分）

点评：本题是一道二次函数的综合题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及动点问题，难度较大．