Question

在正八边形ABCDEFGH中，BCEF的面积为20cm²，则正八边形的面积为

 

cm²．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：设正八边形的半径是r，设中心是O，连接OC、OE，作CM⊥OB于点M，利用r表示出△BOC的面积．△COE的面积，根据BCEF的面积为20cm²，即可列方程求得r的值，则△BOC的面积即可求解，正八边形的面积是△BOC的面积的8倍，据此即可求解．

解答：解：设正八边形的半径是r，设中心是O，连接OC、OE，作CM⊥OB于点M．
则∠BOC=∠EOF=45°，∠COE=90°，
在直角△OCM中，∠BOC=45°，则CM=

2

2

r，
则S_△BOC=S_△EOF=

1

2

OB•CM=

1

2

×r×

2

2

r=

2 r2

4

，
S_△COE=

1

2

r²，
∵BCEF的面积为20cm²，
∴

2 r2

4

+

2 r2

4

+

1

2

r²=20，
解得：r²=40（

2

-1），
则S_△BOC=

2 r2

4

=

2

4

×40（

2

-1）=20-10

2

，
则正八边形的面积是：8×（20-10

2

）=160-80

2

（cm²）．
故答案是：160-80

2

．

点评：本题考查了正多边形的计算，正确利用半径r表示出△BOC的面积是关键．