Question

14．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=4，点C、D在边AB上，且∠COD=45°，设AD=x，BC=y．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当AC=$\sqrt{2}$时，求△BOD的面积；
（3）当∠BOD=15°时，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）证明△AOD∽△BCO，列比例式可求得y关于x的函数关系式：y=$\frac{16}{x}$，当C、A重合时，x有最小值，当D与B重合时，x有最大值，分别计算出来；
（2）作高线OE，分别计算BD和高线OE的长，利用面积公式计算结果；
（3）作辅助线，构建等腰直角三角形和30°的直角三角形，设AF=x，根据AO=AF+FC列式可得x的值，再计算AC的长．

解答 解：（1）∵∠AOB=90°，OA=OB=4，
∴∠A=∠B=45°，AB=4$\sqrt{2}$，
∵∠ADO=180°∠A-∠AOD，
∠AOD=∠AOC+∠COD，
∴∠ADO=180°-∠A-∠AOC-∠COD，
∵∠COD=45°=∠B，
∴∠ADO=180°-∠A-∠B-∠AOC，
∴∠ADO=∠AOB-∠AOC=∠BOC，
∴△AOD∽△BCO，
∴$\frac{AD}{BO}=\frac{AO}{BC}$，
∵AD=x，BC=y，
∴$\frac{x}{4}=\frac{4}{y}$，
y=$\frac{16}{x}$，
当C、A重合时，x有最小值，
∵∠COD=45°，
∴D为AB的中点，
AD=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
x有最小值是2$\sqrt{2}$，
当D与B重合时，x有最大值为4$\sqrt{2}$，
∴2$\sqrt{2}$≤x$≤4\sqrt{2}$；
（2）过O作OE⊥AB于E，
∵OA=OB，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∵AC=$\sqrt{2}$，
∴BC=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
即y=3$\sqrt{2}$，
由（1）得：xy=16，
3$\sqrt{2}$x=16，
x=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
∴BD=AB-x=4$\sqrt{2}$-$\frac{8\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴S_△BOD=$\frac{1}{2}$BD•OE=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{2}}{3}$×$2\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$；
（3）∵∠AOB=90°，∠COD=45°，
∴∠AOC+∠BOD=45°，
∵∠BOD=15°，
∴∠AOC=30°，
过C作CF⊥AO于F，
设AF=x，则FC=x，OC=2x，OF=$\sqrt{3}$x，
∵AO=AF+OF，
∴4=x+$\sqrt{3}$x，
x=2$\sqrt{3}$-2，
∴AC=$\sqrt{2}$AF=$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$（2$\sqrt{3}$-2）=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$．

点评 本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形、三角形面积、相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握等腰直角三角形的两个锐角是45°，根据勾股定理得斜边就直角边的$\sqrt{2}$倍，明确直角三角形中，30°角的性质，难度适中．