Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，过A作⊙O的切线，与BC的延长线交于D，且AD=

3

+1，CD=2，∠ADC=30°
（1）AC与BC的长；
（2）求∠ABC的度数；
（3）求弓形AmC的面积．

Answer 1

分析：（1）作CE⊥AD于E，则CE=1，利用角边关系又可求出AE，AC，BC的长；
（2）利用三角形的内角和是180度，可求出∠ABC的度数；
（3）仔细观察图形可得S_弓形AmC=S_扇形OAmC-S_△AOC，然后利用面积公式进行计算．

解答：解：（1）作CE⊥AD于E，
∴CE=1，DE=

3

，
又∵AD=

3

+1，
∴AE=1，AC=

2

，
∴∠ABC=45°，
又∵AD²=CD•BD，
∴BC=

3

；

（2）∵∠ADC=30°，
∴∠ECD=60°，
∴∠AFD=60°，
∴∠ABC=30°；

（3）S_弓形AmC=S_扇形OAmC-S_△AOC=

1

4

π-

1

2

，
∴AC=

2

，BC=

3

，∠ABC=45°，
∴S_弓形AmC=

1

4

π-

1

2

．

点评：本题综合考查了解直角三角形，及扇形的三角形的面积公式．