Question

如图，正方形ABCD中，P是BC中点，E、F是AB、CD边上的点，BE=1，CF=2，EP⊥FP．
（1）求证：△PEB∽△FPC；
（2）求线段EF的长．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，又由EP⊥FP，根据同角的余角相等，即可证得∠BEP=∠CPF，继而可得△PEB∽△FPC；
（2）由△PEB∽△FPC，P是BC中点，BE=1，CF=2，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得BP与CP的长，然后由勾股定理求得PE与PF的长，继而可求得线段EF的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BEP+∠BPE=90°，
∵EP⊥FP，
∴∠BPE+∠CPF=90°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△PEB∽△FPC；

（2）解：设BP=x，
∵P是BC中点，
∴CP=BP=x，
∵△PEB∽△FPC，
∴

BE

CP

=

BP

CF

，
∵BE=1，CF=2，
∴

1

x

=

x

2

，
解得：x=

2

，
即BP=CP=

2

，
在Rt△PBE中，PE=

BE2+BP2

=

3

，
在Rt△PCF中，PF=

CP2+CF2

=

6

，
∴在Rt△PEF中，EF=

PE2+PF2

=3．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．