【题目】如图,抛物线(
)的顶点为
,对称轴与
轴交于点
,当以
为对角线的正方形
的另外两个顶点
、
恰好在抛物线上时,我们把这样的抛物线称为美丽抛物线,正方形
为它的内接正方形.
(1)当抛物线是美丽抛物线时,则
______;当抛物线
是美丽抛物线时,则
______;
(2)若抛物线是美丽抛物线时,则请直接写出
,
的数量关系;
(3)若是美丽抛物线时,(2)
,
的数量关系成立吗?为什么?
(4)系列美丽抛物线(
为小于
的正整数)顶点在直线
上,且它们中恰有两条美丽抛物线内接正方形面积比为
.求它们二次项系数之和.
【答案】(1),
; (2)
;(3)答:成立.见解析;(4)这两条美丽抛物线对应的二次函数的二次项系数和为
.
【解析】
(1)分别求出美丽抛物线的顶点A的坐标,根据正方形的性质得到点B的坐标,代入函数解析式求出a或k;
(2)由(1)得到规律;
(3)利用抛物线的平移的性质即可得到答案;
(4)设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为和
,(
,
为小
的正整数,且
),它们的内接正方形的边长比为
,解得
,得到这两条美丽抛物线分别为
和
,根据
,
,
求出,即可得到答案.
(1)∵抛物线,
∴顶点A的坐标为(0,1),
∴BD=OA=1,
∴点B的坐标为(-0.5,0.5),
将点B的坐标代入,得到0.25a+1=0.5,
解得a=-2,
同理,抛物线是美丽抛物线,
∴顶点A(0,k),
∴B(-,
),
将点B的坐标代入,得
,
解得k=-4,
故答案为:,
;
(2)由(1)知:
当a=-2时,k=1;当a=时,k=-4,
∴;
(3)答:成立.
∵美丽抛物线沿轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线.
∴美丽抛物线沿
轴经过适当平移后沿到美抛物线
.
∴.
(4)设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为和
,(
,
为小
的正整数,且
),它们的内接正方形的边长比为
,
∴,
得.
∴这两条美丽抛物线分别为和
.
∵,
,
∴,
.
∴.
答:这两条美丽抛物线对应的二次函数的二次项系数和为.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在信息快速发展的社会,“信息消费”已成为人们生活的重要部分.郑州市的一个社区随机抽取了部分家庭,调查每月用于信息消费的金额,数据整理成如图所示的不完整统计图.已知A、B两组户数直方图的高度比为1:5,请结合图中相关数据回答下列问题.
(1)A组的频数是 ,本次调查样本的容量是 ;
(2)补全直方图(需标明各组频数);
(3)若该社区有1500户住户,请估计月信息消费额不少于300元的户数是多少?
月消费额分组统计表
组别 | 消费额(元) |
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知菱形ABCD的顶点A(,0),∠DAB=60°,若动点P从点A出发,沿A→B→C→D→A→B→…的路径,在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动,则第2020秒时,点P的坐标为____.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】一名在校大学生利用“互联网+”自主创业,销售一种产品,这种产品的成本价10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件,市场调查发现,该产品每天的销售量(件
与销售价
(元/件)之间的函数关系如图所示.
(1)求与
之间的函数关系式,并写出自变量
的取值范围;
(2)求每天的销售利润W(元与销售价
(元/件)之间的函数关系式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,
),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求线段CD的长;
(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形纸片ABCD中,AB=8,BC=6,点E是AD的中点,点F是AB上一动点.将△AEF沿直线EF折叠,点A落在点A'处.在EF上任取一点G,连接GC,GA',CA’,则△CGA'的周长的最小值为__.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com