Question

2．如图，等边△ABC中，D是BC边上一点，BD=2DC，P是线段AD上的动点，过点P的直线交边AB、AC于点E、F，且∠APE=60°，则PE：PF=4：3．

Answer 1

分析 作辅助线，构建直角三角形，设等边三角形ABC的边长为6x，根据勾股定理求出DG和AD的长，再证明△ABD∽△APE和△EPA∽△EAF，得出PA、PE、AE的关系，设PA=3k，PE=2k，AE=$\sqrt{7}$k，利用比例式表示出PE和PF的长，得出比值．

解答 解：过D作DG⊥AC，垂足为G，
设等边三角形ABC的边长为6x，则CD=2x，BD=4x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠GDC=30°，
∴GC=x，AG=6x-x=5x，
由勾股定理得：DG=$\sqrt{（2x）^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
AD=$\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{（5x）^{2}+（\sqrt{3}x）^{2}}$=2$\sqrt{7}$x，
∵∠APE=∠B=60°，∠BAD=∠PAE，
∴△ABD∽△APE，
∴$\frac{PA}{BA}=\frac{PE}{BD}=\frac{AE}{AD}$，
∴$\frac{PA}{6x}$=$\frac{PE}{4x}$=$\frac{AE}{2\sqrt{7}x}$，
∴PA：PE：AE=3：2：$\sqrt{7}$，
设PA=3k，PE=2k，AE=$\sqrt{7}$k，
同理得△EPA∽△EAF，
∴$\frac{EA}{EF}=\frac{EP}{AE}$，
∴$\frac{\sqrt{7}k}{EF}=\frac{2k}{\sqrt{7}k}$，
∴EF=$\frac{7}{2}$k，
∴PF=EF-PE=$\frac{7}{2}$k-2k=$\frac{3}{2}$k，
∴PE：PF=2k：$\frac{3}{2}$k=4：3，
故答案为：4：3．

点评 本题考查了相似三角形和等边三角形的性质和判定，明确等边三角形的三边相等，且每个角都等于60°；再求两线段的比时，恰当地设未知数，利用相似三角形对应边的比表示也所求边的长，计算比值即可．