Question

9．如图，在直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于B、A两点，OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-12x+32=0的两个实数根，且OB＞OA，以OA为一边作如图所示的正方形AOCD，CD交AB于点P．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与△ADP相似？若存在，求点Q坐标；否则，说明理由；
（3）设N是平面内一动点，在y轴上是否存在点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；否则，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由方程可求得OA和OB的长，则可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）可设Q（x，0），则可表示出CQ的长，分△PCQ∽△PDA和△PCQ∽△ADP两种情况，利用相似三角形的性质可分别得到关于x的方程，则可求得x的值，可求得Q点坐标；
（3）当AC为菱形的边时，则有AM=AC，可求得M点坐标；当AC为对角线时，由图形可知O点即为所求，可求得M点坐标．

解答 解：
（1）解方程x²-12x+32=0可得x=4或x=8，
∵OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-12x+32=0的两个实数根，且OB＞OA，
∴OA=4，OB=8，
∴A（0，4），B（-8，0），
设直线AB解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=$\frac{1}{2}$x+4；
（2）∵四边形AOCD为正方形，
∴AD=CD=OC=OA=4，
∴C（-4，0），
在y=$\frac{1}{2}$x+4中，令x=-4，可得y=2，
∴PC=PD=2，
设Q（x，0），则CQ=|x+4|，
∵以P、C、Q为顶点的三角形与△ADP相似，
∴有△PCQ∽△PDA和△PCQ∽△ADP两种情况，
①当△PCQ∽△PDA时，则有$\frac{PC}{PD}$=$\frac{CQ}{AD}$，即$\frac{2}{2}$=$\frac{|x+4|}{4}$，解得x=0或x=-8，此时Q点坐标为（-8，0）或（0，0）；
②当△PCQ∽△ADP时，则有$\frac{PC}{AD}$=$\frac{CQ}{PD}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{|x+4|}{2}$，解得x=-3或x=-5，此时Q点坐标为（-3，0）或（-5，0）；
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（-8，0）或（0，0）或（-3，0）或（-5，0）；
（3）由题意可设M（0，y），
∵A（0，4），C（-4，0），
∴AC=4$\sqrt{2}$，
当AC为菱形的一边时，则有AC=AM，即|y-4|=4$\sqrt{2}$，解得y=4±4$\sqrt{2}$，此时M点坐标为（0，4+4$\sqrt{2}$）或（0，4-4$\sqrt{2}$）；
当AC为菱形的对角线时，则有MA=MC，由题意可知此时M点即为O点，此时M点坐标为（0，0）；
综上可知存在满足条件的M点，其坐标为（0，4+4$\sqrt{2}$）或（0，4-4$\sqrt{2}$）或（0，0）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及一元二次方程、待定系数法、正方形的性质、相似三角形的性质、菱形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A、B的坐标是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质得到关于Q点坐标的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（3）中确定出M点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．