Question

3．在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（3）在（2）条件下，若正方形边长为12，BE=4，求GE的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可以得出BC=CD，∠B=∠ADC=90°，通过证明△CBE≌△CDF就可以得出结论；
（2）由条件可以得出∠BCE+∠DCG=45°，就可以得出∠DCG+∠DCF=45°，就有∠ECG=∠FCG=45°，通过证明△GCE≌△GCF就可以得出GE=GF，进而得出结论；
（3）连接DE，在R△AED中，由勾股定理就可以得出DE的值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠ADC=∠BCD=90°．
∴∠CDF=∠B=90°．
在△CBE和△CDF中$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠B=∠CDF}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；
（2）∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠DCG=45°，
∴∠DCG+∠DCF=45°
∴∠ECG=∠FCG．
在GCE和△GCF中$\left\{\begin{array}{l}{GC=GC\\;}\\{∠ECG=∠FCG}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴GCE≌△GCF，
∴GE=GF．
∵GF=GD+DF，
∴GF=GD+BE，
∴GE=BE+GD；
（3）连接DE．

∵AB=BC=12，BE=4，
∴AE=8．
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
DE=4$\sqrt{13}$．
答：DE的长为4$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．