Question

已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于E，
∠BCD＝∠BAC .
（1）求证：AC＝AD；
（2）过点C作直线CF，交AB的延长线于点F，若∠BCF＝30°,则结论“CF一定是⊙O的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例.

Answer 1

（1）证明见解析（2）不正确，反例见解析

（1）证明：∵∠BCD＝∠BAC，∴弧BC＝弧BD。
∵ AB为⊙O的直径，∴AB⊥CD，CE＝DE。
∴AC＝AD。
（2）解：不正确，如当∠CAB＝20°时，CF不是⊙O的切线。
如图， 连接OC。

∵ OC＝OA，∴∠OCA＝20°。
∵∠ACB＝90°，∴∠OCB＝70°。
又∵∠BCF＝30°，∴∠FCO＝100°。
∴CO与FC不垂直.。∴此时CF不是⊙O的切线.。
（1）连接AD．根据∠BCD=∠BAC，∠CBE=∠ABC，证出△CBE∽△ABC，可得∠BEC=90°，于是∠D=∠CBA=∠ACD，故AC=AD。
（2）不正确。可令∠CAB=20°，连接OC，据此推出∠OCF≠90°，从而证出∠BCF=30°时“CF不一定是⊙O的切线”