分析 将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE,连接BE交AC于点G,连接PF、DE,则△APF、△ADE是等边三角形,从而得出PA+PB+PD=PF+PB+EF,进而得出∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°,得出∠ABE=∠AEB=15°,即可求得∠AQE=∠BAC+∠ABE=60°,证得PF∥BE,设直线AF交BE于点G,则△AQG是等边三角形,当P运动到Q处时,点F运动到G处,此时折线B-P-F-E变成线段BE,此时PA+PB+PD取得最小值BE,设正方形的面积为a2=2-$\sqrt{3}$,则EH=$\frac{a}{2}$,AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,根据勾股定理得出BE2=BH2+EH2=(a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a)2+($\frac{a}{2}$)2=(2+$\sqrt{3}$)a2=(2+$\sqrt{3}$)(2-$\sqrt{3}$)=1,即可求得PA+PB+PD的最小值为1.
解答 解:如图所示:将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE,连接BE交AC于点G,连接PF、DE,则△APF、△ADE是等边三角形,
∴PA+PB+PD=PF+PB+EF,
∵AB=AD=AE,∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°,
∴∠ABE=∠AEB=15°,
∴∠AQE=∠BAC+∠ABE=60°,
∴PF∥BE,
设直线AF交BE于点G,则△AQG是等边三角形,
∴当P运动到Q处时,点F运动到G处,此时折线B-P-F-E变成线段BE,
∴PA+PB+PD=PF+PB+EF≥BE,
即P运动到Q处PA+PB+PD取得最小值BE,
设正方形的面积为a2=2-$\sqrt{3}$,则EH=$\frac{a}{2}$,AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,
∴BE2=BH2+EH2=(a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a)2+($\frac{a}{2}$)2=(2+$\sqrt{3}$)a2=(2+$\sqrt{3}$)(2-$\sqrt{3}$)=1,
∴PA+PB+PD的最小值为1.
故答案为1.
点评 本题考查了正方形的性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理的应用,轴对称-最短路线问题,两点之间线段最短是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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