Question

已知x+y=4，x²+y²=14，那么x⁷+y⁷=

 

．

Answer 1

分析：通过x+y=4，x²+y²=14，利用完全平方式可求出xy的值．再运用立方差公式求出x³+y³的值，通过（x⁴+y⁴）（x³+y³）=x⁷+y⁷+x³y³（x+y）做变换x⁷+y⁷=（x⁴+y⁴）（x³+y³）-x³y³（x+y））=[（x²+y²）²-2x²y²]（x³+y³）-x³y³（x+y）．最后将x+y=4，x²+y²=14，xy=1代入变换后的式子，求出结果．

解答：解：x+y=4，x²+y²=14，
∴xy=

1

2

[(x+y)2-(x2+y2)]=1，
∴x³+y³=（x+y）（x²+y²-xy）=4×（14-1）=52，
∵（x⁴+y⁴）（x³+y³）=x⁷+y⁷+x³y³（x+y），
∴x⁷+y⁷=（x⁴+y⁴）（x³+y³）-x³y³（x+y），
=[（x²+y²）²-2x²y²]（x³+y³）-x³y³（x+y），
=（14²-2）×1×52-1×4，
=10084．
故答案为：10084．

点评：本题考查因式分解、完全平方式、立方和公式．解决本题的关键是将x⁴+y⁴、x²+y²运用完全平方式，x³+y³运用立方差公式分解．