Question

【题目】如图，已知AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点F，交BC的延长线于点E.以下四个结论：(1)∠EAD＝∠EDA；(2)DF∥AC；(3)∠FDE=90°；(4)∠B＝∠CAE.恒成立的结论有（ ）

A. (1)(2)B. (2)(3)(4)C. (1)(2)(4)D. (1)(2)(3)(4)

Answer 1

【答案】C

【解析】

由中垂线的性质知，DE=AE，由等边对等角知，∠EAD=∠EDA，故可判断(1)

由中垂线的性质知，FD=FA∠FDA=∠FAD，由AD平分∠BAC∠FAD=∠DAC，∠FDA=∠DACDF∥AC，故可判断(2)

由三角形的外角与内角的关系知，∠EAD=∠DAC+∠CAE，∠EDA=∠B+∠BAD，而∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠DAC，故有∠EAC=∠B．故可判断(4)

(1)∵EF是AD的中垂线，

∴DE=AE.

∴∠EAD=∠EDA.故(1)正确

∵EF为中垂线，

∴FD=FA.

∴∠FDA=∠FAD.

∵AD平分∠BAC，

∴∠FAD=∠DAC，

所以∠FDA=∠DAC.

∴DF∥AC.故(2)正确

∵∠EAD=∠EDA，∠EAD=∠DAC+∠CAE，∠EDA=∠B+∠BAD，

∴∠DAC+∠CAE=∠B+∠BAD，

∵∠FAD=∠DAC，

∴∠EAC=∠B.故(4)正确

故选：C