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(2005•中原区)如图,已知平面直角坐标系中三个点A(-8,0)、B(2,0)、C,O为坐标原点.以AB为直径的⊙M与y轴的负半轴交于点D.
(1)求直线CD的解析式;
(2)求证:直线CD是⊙M的切线;
(3)过点A作AE⊥CD,垂足为E,且AE与⊙M相交于点F,求一个一元二次方程,使它的两个根分别是AE和AF.

【答案】分析:(1)已知A、B的坐标就可以求出直径AB的长,弦心距MB的长,根据垂径定理就可以求出BD的长,即得到D的坐标.根据待定系数法就可以求出CD的解析式.
(2)连接MD,根据M,C,D的坐标就可以得△CDM的三边的长,根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形.
(3)易证△CDM∽△CEA,根据相似三角形的对应边的比相等,可以求出AE,再证明Rt△CDM∽Rt△BFA,就可以得到AF,则所求的一元二次方程就可以得到.
解答:(1)解:∵A(-8,0),B(2,0),
∴⊙M的圆心为(-3,0),且⊙M的半径为5.
连接MD.
在Rt△OMD中,
OD==4,
∴D(0,-4).  (2分)
设所求直线CD的解析式为y=kx+b,则由C(,0)、D(0,-4)两点,

解得
故所求直线CD的解析式为y=x-4. (4分)

(2)证明:在Rt△CDO中,CD2=OD2+OC2=42+(2=
在△CDM中,MC=3+,DM=5,
∴DM2+CD2=25+

∴MD2+CD2=MC2
∴△CDM是直角三角形,且
∠MDC=90°,CD经过半径MD的外端点D,
∴直线CD是⊙M的切线.  (6分)

(3)解:由已知,AE⊥CD,由(2),MD⊥CD,
∴MD∥AE,
∴△CDM∽△CEA.
,即,解得AE=8.(7分)
连接BF.则∠AFB=90°.
又∠MDC=90°,∠CMD=∠CAE,
∴Rt△CDM∽Rt△BFA.
,即,解得AF=6.
故所求的一个一元二次方程是x2-14x+48=0.(9分)
点评:本题主要考查了待定系数法求函数解析式,以及相似三角形的性质,相似三角形的对应边的比相等.
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