Question

6．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是AC边所在直线上的一个动点，BD⊥DE与AC交于点D，DE与BC边所在直线交于点E．
（1）在图①中，AD=$\frac{1}{2}$CD，直接写出$\frac{BD}{DE}$的值；
（2）在图②中，AD=2CD，直接写出$\frac{BD}{DE}$的值；
（3）在图③中，AD=$\frac{1}{2}$CD，先写出$\frac{BD}{DE}$的值，再加以证明．

Answer 1

分析 （1）过D作DF⊥BC于F，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，得到∠ACB=45°，于是得到DF=CF，根据AB∥DF，得到比例式$\frac{DF}{AB}=\frac{CD}{AC}$=$\frac{2}{3}$，设DF=CF=2k，则AC=BC=3k，通过△BDF∽△DEF，即可得到结论；
（2）过D作DF⊥BC于F，同理△CDF是等腰直角三角形，通过△ABC≌△DFC，得到AB=DF，BC=CF于是得到BF=2DF，由（1）证得△BDF∽△DEF，列比例式即可得到结论；
（3）$\frac{BD}{DE}$=$\frac{1}{2}$，如图③过D作DF⊥BC于F，首先证得△DFC是等腰直角三角形，再通过三角形相似得到$\frac{DF}{AB}=\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，设AB=k，DF=2k，则BC=k，CF=2k，然后由△BDF∽△DEF得到结论$\frac{BD}{DE}=\frac{BF}{DF}$=$\frac{k}{2k}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）过D作DF⊥BC于F，
∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ACB=45°，
∴△DFC是等腰直角三角形，
∴DF=CF，
∵∠ABC=∠DFC=90°，
∴AB∥DF，
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{CD}{AC}$，
∵AD=$\frac{1}{2}$CD，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
设DF=CF=2k，则AC=BC=3k，
∴BF=k，
∵BD⊥DE，
∴△BDF∽△DEF，
∴$\frac{BD}{DE}=\frac{BF}{DF}$=$\frac{k}{2k}$=$\frac{1}{2}$；

（2）过D作DF⊥BC于F，
同理△CDF是等腰直角三角形，
∴CF=DF，
∵AD=2CD，
∴AC=CD，
在△ABC与△DFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠FCD}\\{∠ABC=∠DFC}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DFC，
∴AB=DF，BC=CF，
∴AB=BC=CF=DF，
∴BF=2DF，
由（1）证得△BDF∽△DEF，
∴$\frac{BD}{DE}=\frac{BF}{DF}$=2；

（3）$\frac{BD}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
如图③，过D作DF⊥BC于F，
∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ACB=45°，
∴△DFC是等腰直角三角形，
∴DF=CF，
∵∠ABC=∠DFC=90°，
∴AB∥DF，
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{CD}{AC}$，
∵AD=$\frac{1}{2}$CD，
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{CD}{AC}$=2，
设AB=k，DF=2k，则BC=k，CF=2k，
∴BF=k，
∵BD⊥DE，
∴△BDF∽△DEF，
∴$\frac{BD}{DE}=\frac{BF}{DF}$=$\frac{k}{2k}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．