Question

如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
（1）求证：DE-BF=EF；
（2）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）；
（3）若AB=2a，点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并通过计算来验证你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得DA=AB，再根据同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE，然后利用“角角边”证明△ABF和△DAE全等，再根据全等三角形对应边相等可得BF=AE，AF=DE，然后根据图形列式整理即可得证；
（2）根据题意作出图形，然后根据（1）的结论可得BF=AE，AF=DE，然后结合图形写出结论即可；
（3）根据中点定义求出BG，再利用勾股定理列式求出AG的长，然后利用△ABG的面积列式求出BF的长，再根据勾股定理列式求出FG的长，然后求出AF、AE、BF的长，再表示出EF的长，从而得解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，

∠BAF=∠ADE ∠AFB=∠DEA=90° DA=AB

，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE-BF=AF-AE=EF；

（2）解：如图②，DE+BF=EF；

（3）解：EF=2FG．理由如下：
∵AB=2a，点G为BC边中点，
∴BG=a，
根据勾股定理得，AG=

AB2+BG2

=

(2a)2+a2

=

5

a，
又∵AB⊥BC，BF⊥AG，
∴S_△ABG=

1

2

×

5

a•BF=

1

2

•2a•a，
∴BF=

2 5

5

a，
根据勾股定理得，FG=

BG2-BF2

=

a2-( 2 5 5 a)2

=

5

5

a，
∴AF=AG-FG=

5

a-

5

5

a=

4 5

5

a，
∵AE=BF=

2 5

5

a，
∴EF=AG-AE-FG=

5

a-

2 5

5

a-

5

5

a=

2 5

5

a，
∴EF=2FG．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记正方形的四条边都相等，每一个角都是直角，然后求出三角形全等是解题的关键．