Question

6．如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么AC为多长时DE的长最小？最小值为多少？

Answer 1

分析 设AC=x，则BC=2-x，然后分别表示出DC、EC，继而在RT△DCE中，利用勾股定理求出DE长度的表达式，然后利用函数的性质进行解答即可．

解答 解：设AC=x，则BC=2-x，
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2-x），
∴∠DCE=90°，
故DE²=DC²+CE²=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$（2-x）²=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∵当x=1时，DE²有最小值=1，
∴DE的最小值=1，
∴AC为1时DE的长最小，最小值为1．

点评 此题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是表示出DC、CE，得出DE的表达式，还要求我们掌握配方法求二次函数最值．