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6.如图,线段AB的长为2,C为AB上一个动点,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE,那么AC为多长时DE的长最小?最小值为多少?

分析 设AC=x,则BC=2-x,然后分别表示出DC、EC,继而在RT△DCE中,利用勾股定理求出DE长度的表达式,然后利用函数的性质进行解答即可.

解答 解:设AC=x,则BC=2-x,
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形,
∴∠DCA=45°,∠ECB=45°,DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x,CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$(2-x),
∴∠DCE=90°,
故DE2=DC2+CE2=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$(2-x)2=x2-2x+2=(x-1)2+1,
∵当x=1时,DE2有最小值=1,
∴DE的最小值=1,
∴AC为1时DE的长最小,最小值为1.

点评 此题考查了二次函数最值及等腰直角三角形,难度不大,关键是表示出DC、CE,得出DE的表达式,还要求我们掌握配方法求二次函数最值.

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