Question

4．如图，在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．
（1）若BD平分∠ABC，求证：BD=2CE．
（2）若D为AC上的-动点，∠AEB大小如何变化？

Answer 1

分析 （1）延长CE交BA延长线于点F，先证△BEF≌△BEC得FC=2CE，由∠BAC=∠BEF=90°知∠FCA=∠DBA，再证△CAF≌△BAD得BD=FC即可；
（2）证△ABH≌△ACG可得AH=AG，根据AH⊥BE、AG⊥EF知EA平分∠BEF，可得∠AEB=$\frac{1}{2}$∠BEF．

解答 解：（1）证明：如图1，延长CE交BA延长线于点F，

∵BD平分∠ABC，
∴∠FBE=∠CBE，
又∵CE⊥BD，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
在△BEF和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠BEF=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BEC（ASA），
∴FC=2CE，
∵∠BAC=∠BEF=90°，
∴∠F+∠FCA=∠F+∠DBA=90°，
∴∠FCA=∠DBA，
在△CAF和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCA=∠DBA}\\{CA=BA}\\{∠FAC=∠DAB=90°}\end{array}\right.$，
∴△CAF≌△BAD（ASA），
∴BD=FC，
又∵FC=2CE，
∴BD=2CE；
（2）∠AEB=45°，
如图2，

过点A作AH⊥BE、AG⊥EF，垂足分别为点H、G，
∴∠BHA=∠CGA=90°，
由（1）知，△CAF≌△BAD，
∴∠ABH=∠ACG，
在△ABH和△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABH=∠ACG}\\{∠BHA=∠CGA}\\{BA=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ACG（AAS），
∴AH=AG，
又∵AH⊥BE、AG⊥EF，且∠BEF=90°，
∴EA平分∠BEF，即∠AEB=45°．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质的运用能力，先构造一对全等三角形为另一对三角形的全等创造条件是关键．